De las diferentes soluciones que se pueden dar al problema propuesto de obtención de circunferencias con condiciones angulares ( Μπορείτε να περάσετε ένα σημείο, εφάπτονται σε ένα κύκλο και σχηματίζουν γωνία με μια ευθεία), vamos a analizar aquella solución que utilice la aplicación de los conceptos de potencia utilizados en el “Θεμελιώδες πρόβλημα tangencies” ( PFT ).
Posteriormente podremos analizar caminos específicos a este problema concreto que pudieran simplificar su trazado o conceptualización geométrica.
En este último sentido cabe destacar que una construcción geométrica dada, un conjunto de líneas, pueden interpretarse de diferentes formas atendiendo al razonamiento abstracto aplicado al problema.
La búsqueda de modelos generalistas puede ser el primer paso formativo de un geómetra.
Sobre la modificación del enunciado del problema
El primer paso, aplicando el método lógico geométrico ή εκτεθειμένη μεθοδολογία εργασίας, θα συνίσταται σε αλλάζουν τις γεωμετρικές συνθήκες του προβλήματος από άλλες που είναι ισοδύναμες.
Σε γενικές γραμμές, θα προσπαθήσουμε να επιβάλουμε πανομοιότυπους όρους όταν ασχολούμαστε με γωνιακούς περιορισμούς για να μετατρέψουμε τους περιορισμούς σε “isoangularidad”. Σε αυτή την περίπτωση, θα αλλάξουμε την συνθήκη σχηματισμού γωνίας 45º με ευθεία γραμμή για να είναι εφαπτομένη σε μια άλλη, αφού έχουμε συνθήκη εφαπτομένης ως προς την περιφέρεια. Βλέπουμε ότι η δήλωση θα αλλάξει σε:
Προσδιορίστε έναν κύκλο που εφάπτεται σε μια ευθεία και έναν κύκλο και περνά (είναι εφαπτομένη) για ένα σημείο.
Αντίστοιχα, η συνθήκη εφαπτομένης θα μπορούσε να είχε αλλάξει για μια γωνιακή στις 45º, αν και αυτή η έννοια φαίνεται τώρα πιο περίπλοκη και δεν είναι η διαδρομή που χρησιμοποιείται.
Αρχικό γράφημα με τα δεδομένα του προβλήματος
Ισοδύναμη Τροποποιημένη Δήλωση
Πράγματι, Αν ο αναζητούμενος κύκλος σχηματίζει γωνία με την ευθεία r, εφαπτομένη σου t στο σημείο επαφής πρέπει να σχηματίζει εκείνη τη γωνία με r, Όπως είδαμε κατά τον ορισμό του γωνία μεταξύ γραμμής και κύκλου.
Επομένως, το πρόβλημά μας θα συνίσταται στον προσδιορισμό ενός κύκλου που εφάπτεται σε έναν άλλο και σε μια ευθεία γραμμή σε ένα από τα σημεία του..
Τροποποιημένη δήλωση με συνθήκες ισογωνίας (Apolonio)
Το πρόβλημα ισογονικότητας που απομένει είναι μια από τις παραλλαγές αυτού που είναι γνωστό ως “Απολλώνιο πρόβλημα” που πρότεινε τον προσδιορισμό ενός κύκλου που εφάπτεται σε τρεις δεδομένους κύκλους.
τρεις κύκλοι? Πράγματι, το σημείο διέλευσης μπορεί να θεωρηθεί ως περιφέρεια ακτίνας μηδέν (μηδενικό) και η ευθεία “t” άλλο άπειρης ακτίνας. Αυτός ο τύπος συλλογισμού επομένως μας επιτρέπει να ομαδοποιήσουμε αυτό το πρόβλημα σε ένα πιο γενικό με απλό τρόπο., όπως προτείναμε στην αρχή.
Η λύση του μπορεί επομένως να συναχθεί από το γενικό μοντέλο, με την αντίστοιχη γενίκευση, o μπορεί να περιλαμβάνονται απλοποιήσεις λόγω της φύσης των περιορισμών.
Προσέγγιση της προσαρμοσμένης λύσης
Κύκλοι που εφάπτονται στη γραμμή t σημείο P έχουν το κέντρο τους σε μια ευθεία κάθετη προς t από το σημείο P. Προσδιορίστε μια παραβολική δέσμη κύκλων με ριζικό άξονα την ευθεία t.
Ευθεία s είναι η τόπος κέντρων κύκλων που εφάπτονται στη γραμμή r σημείο P.
Τέλος θα προσδιορίσουμε το κέντρο του κύκλου της λύσης (αζούλ) που ολοκληρώνει το πρόβλημα. Para ello determinaremos la circunferencia que es tangente a la recta t en el punto P y es tangente a su vez a la circunferencia c1,
Si determinamos una circunferencia cualquiera que sea tangente a la recta t en el punto P y que corte a la circunferencia c1 en un par de puntos (Α και B), estaremos obteniendo una de las circunferencias del haz parabólico mencionado.
Το σημείο “Εγώ” de intersección de la recta Α–B και η ευθεία t es el centro radical de las circunferencias tangentes a t y que pasan por Α και B, teniendo por tanto igual δύναμη respecto de todas ellas. Este valor de potencia es la distancia al punto P de tangencia al cuadrado, y permite por tanto determinar el punto T de tangencia en c1.
Faltaría el análisis del número de soluciones al problema genérico de determinar circunferencias que formen un ángulo con la recta, διέρχονται από ένα σημείο και εφάπτονται στον κύκλο. Από τις πιθανές λύσεις που θα έρχονται πάντα ανά δύο, πρέπει να επιλέξουμε αυτό που προσαρμόζεται στο σκίτσο που καθορίζεται στη δήλωση.
Και γενικά, σε ένα πρόβλημα εφαπτόμενων σε σχέση με τρεις κύκλους, (Το πρόβλημα του Απολλώνιου), θα έχουμε μέχρι 8 λύσεις. Σε αυτή την περίπτωση περιορίζονται σε δύο καθώς η μία περιφέρεια εκφυλίζεται σε ευθεία γραμμή και η άλλη σε σημείο..
Μπορείτε να λύσετε αυτήν την άσκηση με διαφορετικό μοντέλο? Καλύτερα από το να κάνετε πολλές από τις ίδιες ασκήσεις, σκεφτείτε να λύσετε το ίδιο με πολλούς διαφορετικούς τρόπους !!!
Οι έννοιες της αναστροφής έχουν ειδική εφαρμογή σε αυτά τα προβλήματα., όπως φαίνεται στο “Αίτηση για την αντιμετώπιση προβλημάτων και τη γωνιακή εφαπτόμενες”
Πρέπει να είναι συνδεδεμένος για να αναρτήσεις σχόλιο.