Geometria métrica : Investimento no plano

O investimento é um transformação homográfica retendo as relações angulares (está de acordo).

Sua principal aplicação é a determinação de problemas de geometria com condições angulares, incluindo resolução de exercícios são tangentes.

Ele baseia-se nos conceitos de poder; é um transformação involutivo elementos que podem ser o dobro, em caso de poder positivo.

Transforme definição

O investimento é um centro de processamento. Isto significa que ponto transformada e que estão alinhadas com o centro de inversão, analogamente à transformação conhecidos como homotecia.

A relação entre as posições relativas de cada ponto e o centro de investimento transformado comparados com base no conceito poder.

Dado um centro “Eu“, e um par de pontos inversas “P” e “P’“, o produto das distâncias estes pontos o centro de investimento é constante e é chamado Inversão de energia.

IP * IP’ = QI * QI’ = K * K =

Se o poder de investimento é positiva, apontar e são transformados para o mesmo lado do centro de inversão. Os pontos que estão a uma distância de K do centro são o dobro. A circunferência do raio da raiz do poder, valor K, é o dobro de pontos e duplos, denominador circunferência de autoinversión.

Dois pontos e suas inversas são concíclicos

Se a energia for negativo, o centro de inversão está localizada entre cada ponto e a sua transformada. A circunferência é auto-inversão dublê, mas sem pontos.

Inversão de elementos

Estudo aponta Investimento, juntamente com quatro casos possíveis de transformação, dois para a linha e dois para a circunferência, na qual o centro de investimento pode estar em qualquer posição de cada elemento geométrico posicionado sobre ele.

• As linhas que contêm o centro de inversão
• Centro reta contendo nenhum investimento
• Circunferências contendo centro de investimento
• Circunferências que não contém o centro de inversão

Investimento pontos

O investimento de pontos pode ser resolvido pela Construções de energia ou os chamados teoremas da perna ea altura.

Investimento de energia positiva

Neste caso um dos circunferência interna é auto-inversora e uma externa ( ou duplos e estão nele), mas ao lado do mesmo Eu. Podemos aplicar o Cateter Teorema circunferência usando auto-inversão, como visto na figura.

Investimento positivo

Los Conceitos de energia permitir-nos de assegurar que dois pontos e suas inversas são concyclic (estão no mesmo círculo que é o dobro do investimento e cortado perpendicularmente à mesma).

Invertendo poder negativo

A inversão negativa pode ser obtida igualmente poderoso positivo (no módulo) mais uma simetria central. Aplicando teorema de altura determinar pares de pontos inversas.

Investimento negativo

Os pontos diametral da circunferência são inversas auto-inversora.

Linhas centrais de investimento contendo investimento

Este é o caso mais simples, uma vez, definindo transformação, o inverso de cada ponto está alinhado com o ponto e o centro de inversão e, consequentemente, ao contrário da linha, se ele contém o centro de inversão, em si é reta.

Investimento de uma linha

Investimento direto não contendo nenhum centro de investimento

Circunferências investimento, com centro de investimento

Estes dois casos, pode ser estudado em conjunto, porque a transformação e involutiva, como discutido, o Invesa de uma linha que não contém nenhum centro de investimento é um círculo que contém e vice-versa.

Como dois pontos e suas inversas são concíclicos as linhas que unem dois pontos e ligando suas inversas são antiparallel de linhas que ligam cada ponto de apoio e sua inversa (01:58 o mesmo ângulo). Na figura a linha PQ formam um ângulo alfa com o QQ em linha reta’ o qual é idêntico ao P'Q hetero’ PP '.

Antiparalelismo das fitas

Ao investir de um círculo que passa através do centro de inversão, e um ponto P, seu inverso vai passar o P transformado '. Se investirmos outro ponto Q em Q’ vemos que o ângulo Q mostrado na figura deve ser reto para ser inscrito em um semicírculo. Consequentemente, a P'Q segmento’ devem formar um ângulo reto com a linha de PP’ e é necessária para a linha de c '. Repetindo esta operação para os pontos infinitos do círculo vai ir direto c’

Circunferência inversão Hetero

Assim:

O inverso de um círculo que passa através do centro de inversão é uma linha que não passe, direcção perpendicular ao diâmetro que contém o centro de inversão.

Como a transformação é involutiva:

O inverso de uma linha que não passa através do centro de inversão é um círculo centrado sobre o perpendicular a partir do centro da linha que investimento.

Círculos de investimento que não contêm o centro de inversão

Ao estudar o transformação através homotecia Já vimos que dois círculos coplanares podem ser relacionados por dois centros diferentes. Na figura mostra o centro Eu estabelecer uma relação de dilatação postive em que T e T’ são homólogos, como P e Q’ o bien Q e P’. Por conseguinte, a razão é homotética:

TI / TI’ = IP / QI’ = QI / IP’ = Kh

Por outro lado, power point Eu na circunferência c isto é:

W = IP * QI

Dividindo a razão de poder pelo homothetic:

W / Kh = QI * QI’ = Cte

Vemos que os dois círculos são centro inverso Eu e poder W / Kh

Reverso de um círculo

Portanto:

O inverso de um círculo que não passa através do centro de inversão é um outro círculo, ser o centro do centro de inversão que se relaciona homotecia.

Quando o centro de dilatação está fora dos círculos de poder valor é positivo, de modo que a inversão do sinal de energia correspondente ao homotecia centros. Porém, Se o centro de dilatação é interior para os círculos, o sinal é invertido.

Quando o centro homotética está localizado na circunferência, poder ser nula, não se pode considerar que o investimento.

Note-se que embora os centros dos círculos são homólogas, Não inverta.

A inversa O’ o centro O uma circunferência c não passa pelo centro de inversão é o pé do centro de inversão polar no reverso circunferência c’.

Cumprimento da transformação

A transformação é como se o ângulo formado por dois elementos é a mesma que os elementos que formam a transformada. Investimento é uma transformação conformal por isso é muito útil na resolução de problemas com as condições angulares.

O antiparalelismo das fitas entre as linhas que unem dois pontos e suas inversas, para a qual se juntar cada um com o seu inverso é a base da demonstração.

As linhas que ligam quatro pontos em um círculo, dos a dos são antiparalela

Suponhamos uma curva C, que passa através de dois pontos P e Q. Segmento PQ É uma corda de esta curva. No limite, quando coincidir com os pontos P e Q, corda torna-se tangente à curva para:

O ângulo entre a tangente à curva no ponto P com a linha que contém o ponto e o seu inverso, é o mesmo que o que forma o arco tangente à curva.

A curva e a sua forma inversa o mesmo ângulo com a linha que liga cada par de pontos inversas

Si aplicamos a dos curvas, retido, respectivamente, para o ângulo entre as tangentes concluir que:

O ângulo entre as duas curvas é o mesmo que aquele formado por suas curvas inversas, assim investimento é uma transformação conformal.

Compliance no investimento

A aplicação para a resolução de problemas pode ser feito de duas maneiras diferentes conceptualmente:

• Simplificar os dados do problema.
• Simplificar a solução procurada.

Veremos uma nova entrada discussão aprofundada sobre estes dois modelos de análise, aplicándolos a um problema de angularidad.

Geometria métrica

Links Externos

• Investimento no plano (W)
• Propriedades de Investimento (applet interativo gaussianos)