射影几何 : 对合的中心

对合之二阶系列是特别感兴趣的圆锥形元素的测定.

我们已经看到如何确定对合轴和, a partir del concepto de 极地的某点相对两行, 可能对合，可以从四个点设置, con sus respectivos ejes de involución, obteniendo el autopolar 三角 asociado en el que encontramos las relaciones armónicas del cuadrivértice completo.

在这篇文章中，我们将继续加强这些元素, 特别是在将确定什么 autopolar 三角形顶点被称为 “对合的中心”.

我们会记住两个光束投影直有 投影中心 它把它们绑定. Este punto lo podemos determinar mediante la intersección de dos lugares geométricos (pasarán por puntos de dos series perspectivas resultado de seccionar los haces por elementos homólogos).

Si consideramos los puntos de intersección de pares de rayos asociados (a-b’ y a’-b) obtendremos los lugares geométricos citados

两束投影的投影中心

Si proyectamos desde dos puntos cualesquiera de una cónica dos series superpuestas que sean proyectivas, los haces resultantes son proyectivos y tendrán asociado un centro proyectivo.

En la figura hemos proyectado desde V1 y V2 los puntos A,乙,X …. y A’,B’,X’ que se encuentran en involución. Los pares de rayos asociados a-x’ y a’-x determinarán un lugar geométrico en el que se encuentra el eje proyectivo de estos haces. Este lugar geométrico es la recta A-A’ que une los dos puntos homólogos. Al repetir esta operación con otro par de puntos en involución vemos que D3 será el centro proyectivo buscado y cada par de puntos homólogos en la involución estarán en una recta que pasa por este punto, que llamaremos “对合的中心”.

Si obtenemos nuevos puntos en cualquiera de las involuciones de ejes e12, e23 y e31 estudiadas, vemos que los pares de puntos homólogos estarán alineados con los vértices del triángulo autopolar, D1, D2 和 D3. En cada involución los pares de puntos homólogos se encontrarán sobre rectas que contengan a su eje de involución.

Este punto nos permitirá obtener el homólogo de un punto en la involución con trazados menos laboriosos. Podemos usar por ejemplo el centro y el eje de involución en un mismo problema, destacando la forma de operar con ellos, para determinar el homólogo de un punto X.

Sea la involución de puntos A-A’ 和 b b’ en la que se pretende determinar el homólogo del punto X.

Este punto lo determinaremos mediante la intersección de dos lugares geométricos en los que debe encontrarse.

• En la recta que se forma al proyectar X desde el centro de involución
• En el rayo homólogo del que obtenemos al proyectar desde un punto de la cónica. El haz perspectivo con vértice en el punto homólogo del de proyección tendrá por eje perspectivo el eje de involución.

Aunque ahorramos una única línea respecto del uso del eje de involución, los conceptos aplicados nos serán muy útiles en problemas más complejos como se verá más adelante.

例子: involución de puntos

鉴于对合是点一个 a.’, B-B的’ 在一个圆周上, 确定对应的 X 点

我们决心对合的中心, 将被发现在两个位点的交集: las rectas que contienen a cada par de puntos homólogos.

对应的 X 点将在圆周和包含 X 的行和对合的中心

例子: Involución de rectas.

给出了对合直一 a.’, B-B', determinar las rectas homólogas de la involución que sean perpendiculares.

Este ejercicio será de utilidad para obtener posteriormente los ejes de una cónica a partir de dos parejas de diámetros conjugados.

Podemos seccionar por una circunferencia que pase por el vértice del haz en involución, para determinar dos series de segundo orden en involución.

我们可以确定对合的元素, como el centro o el eje tal y como hemos visto al estudiar estas transformaciones. 在这种情况下您想要确定中心和合.

我们不会忘记正交直线性的概念是与相关联的 电弧能 90 °, una semicircunferencia.

Si tomamos cualquier punto de una semicircunferencia, punto V, las rectas determinadas por este punto y los extremos x-x’ de su diámetro son ortogonales.

VX y VX’ serán homólogos en una inversión si la recta X-X’ contiene al centro E de la involución.

En consecuencia X y X’ deben estar en el diámetro de la circunferencia que contenga al centro de involución.

从而, la solución la determinaremos al obtener este diámetro, simplemente a partir del centro de la circunferencia y el punto E. Las soluciones serán las rectas x 和 x’

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