Apollonio ei suoi dieci problemi

Uno degli articoli più completi che hanno scritto i miei studenti in classe di geometria descrive come risolvere la cosiddetta “Problemi di Apollonio”.

Determinazione venire circonferenze diritte o vincoli geometrici definiti dalle tangenti sono basate su una famiglia di problemi geometrici di grande interesse.

Il gruppo “AG-Non siamo Hicks” ci introduce giustamente e completezza in questo numero. Pubblicato inizialmente ecco, appartenente al gruppi sperimentano “Blog Experimentales”, Articolo letteralmente trascrivere, l'aggiunta di alcuni link nel testo che completano. Grazie Diego, Alicia, Clara, Sara e Sergio

Apollonio ei suoi dieci problemi

Biografia:

Prima di sviluppare le teorie e le problematiche Apollonio vi presenteremo una breve biografia Apolonio.

A Apollonio matematico nato a Perge Griego(262 c.a.- 190 c.a.),fu allievo di Archimede. Né si conosce della sua vita, tranne per le presentazioni fatte in alcuni dei suoi trattati di cui si compone la sua grande opera “La conica” utilizzato nei primi termini: “ellisse, parabola e iperbole“. Egli ha anche scoperto e descritto la “Epicicli” con la quale Tolomeo avrebbe usato per spiegare il moto dei pianeti. Secondo gli storici Apollonio aveva un carattere irascibile, che lui un trattamento difficile fatta.

Tra le opere di Apollonio di Perga supporto geometrico “I Luoghi Planes” in cui sono condotte le operazioni di cose più importanti da sapere nel disegno geometrico con un linguaggio moderno e geometria analitica lontanamente: il homotecia, traduzione, investimento, rotazione e somiglianza.

Uno dei principali contributi alla geometria di Apollonio è la proposta di problemi tangenze sistemici, che sono riassunte nel seguente prospetto:

"Dato tre oggetti potenzialmente, ciascuno di essi, punti, i cerchi dritte, disegnare un cerchio tangente ai tre ".

I diversi problemi di tangenti derivanti da scambiare questi elementi danno origine ai casi noti studi di geometria classica, con le diverse soluzioni proposte che sono state sviluppate nel corso della storia.

Stand 10 casi:

• tre punti,
• tre linee,
• due punti e una linea,
• due linee e un punto,
• colon e una circonferenza,
• due cerchi e un punto,
• due linee e un cerchio,
• due cerchi e una linea,
• punto, una linea e un cerchio
• tre cerchi.

Altri contributi fondamentali di Apollonio, sono le coniche.

Le sezioni coniche erano conosciuti come Apollonio ha eseguito lo studio di questi, ma il suo trattato si muove sopra le altre teorie. In precedenza si riteneva che Apollonio dell'iperbole, la parabola, e sezioni ellisse stati ottenuti da diversi coni secondo l'angolo al vertice.

Così, Apollonio dimostrato che queste curve possono essere ottenuti dalle stesse sezioni di un cono, variando l'inclinazione del piano che interseca tale. In aggiunta a certificare che il cono non deve essere un cono retto, può essere circolare, scaleno o obliquo.

Oltre curve coniche hanno proprietà interessanti.

Una delle più importanti scoperte Apollonio sono le caratteristiche di riflessione.

Riflessione della parabola: se vi è luce da una sorgente distante con uno specchio parabolico, in modo che i raggi incidenti sono paralleli all'asse dello specchio, poi la luce riflessa dallo specchio è focalizzata sul fuoco.

La leggenda vuole che Archimede, contemporaneo di Apollonio, utilizzare questa proprietà per difendere Siracusa dai Romani bruciato le navi di questi. Per questo, prodotto un sistema di specchi parabolici che concentrano la luce del sole ha ottenuto nelle navi romane.

Oggi la struttura dispone di diverse utilità come: sistemi radar, Antenne TV o specchi solari, tra l'altro,.

Riflessione dell'ellisse: se una sorgente luminosa posta al centro di uno specchio ellittico, poi la luce riflessa nello specchio è concentrata nell'altro fuoco.

Vale a dire, se un raggio di un suo fuoco, essere riflessa dal fascio ellisse segua un percorso che ha attraversato l'altro fuoco.

Sulla base di questa struttura, possiamo vedere che se abbiamo un tavolo da biliardo con ellittica, e ha lanciato la palla da una messa a fuoco, con qualsiasi direzione, questo rimbalzo con tavolo da gioco e passare attraverso l'altro fuoco.

Se la palla rimbalza continuerebbe attraverso il primo fuoco, e così via, llagase fino al momento in cui la traiettoria della palla sarebbe essere confuso con il semi-asse maggiore dell'ellisse.

Se invece buttano la palla da un punto diverso un fuoco non era uno della linea che collega, segmenti della figura traiettoria palla descrivono un'altra ellisse.

E viceversa, se il punto di partenza della palla era un punto della linea che collega il foci, questo si baserà la busta di un'iperbole con la stessa foci.

La costruzione è curioso camere soffitto ellittiche. Quando si effettua un suono da un fuoco, questo suonerà con vivida chiarezza dall'altra fuoco. Anche il suono avrà lo stesso tempo di diffondersi da un fuoco all'altro indipendentemente dalla direzione prendiamo per il broadcast. Questo effetto permette anche l'insonorizzazione delle camere.

Riflessione dell'iperbole: raggi provenienti da uno dei fuochi di un'iperbole si riflettono in modo che i raggi riflessi sembrano provenire da un'altra fonte.

Questa proprietà è stata usata per la creazione di LORAN, che è un dispositivo di navigazione iperbolica radiofonica che è stato usato ed è ancora usato, Chiaramente, in misura minore a causa della comparsa di GPS e altri sistemi, per fissare la posizione di navi e aeromobili.

Si basa sul calcolo della differenza di tempo ottenuto in un ricevitore di segnali provenienti dalle due stazioni trasmittenti situate nella superficie terrestre.

Il posizionamento viene eseguito in due dimensioni, se si conosce la differenza tra le distanze delle due stazioni in grado di individuare il luogo dei punti, dove si può trovare la barca o in aereo, che è un'iperbole i cui fuochi sono le stagioni.

Conoscendo l'intersezione di due o più iperboli è possibile definire la posizione dell'aeromobile o nave.

I dieci problemi Apolonio

Poi tratteremo 10 problemi fondamentali di Apollonio, che si basano sulla tangenza tra linee e cerchi.

Iniziamo parlando del tuo problema principale, da cui risolto tutti gli altri casi, cioè tutti infine essere ridotto ad un cerchio tangente ad un'altra e passante per due punti. Anche se il suo problema più difficile è quello di fare un cerchio tangente a tre.

Primo e secondo problema

In precedenza questo problema, ci sono semplici da eseguire, che sono: disegnare il cerchio attraverso punti portres(PPP) y trazar la circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta(PPR). Son mostrados a continuación:

Circunferencia que pasa por tres puntos.

Circunferencia tangente a una recta y pasa por dos puntos

Tercer problema

Ahora vamos a centrarnos en el caso de una circunferencia tangente a otra y que pase por dos puntos. Los pasos para resolverlo son los siguientes.

1. Hallamos la mediatriz del segmento que une a los puntos dados, en ella deberán estar los centros de las circunferencias que buscamos.
2. La recta que une los puntos sabemos que será el eje radical de todas las circunferencias que buscamos.
3. Quindi disegnare un cerchio ausiliario che passa per i punti e il taglio del cerchio dato e disegnare una linea retta che collega i punti di intersezione dei due cerchi. All'intersezione di questa linea con la linea che collega i due punti (asse radicale) trovato il centro radicale.
4. Troviamo le tangenti dal centro alla circonferenza dato radicale, questi punti di tangenza dei cerchi anche noi sono alla ricerca di.
5. Infine si aggiungono i punti di tangenza con il centro del cerchio e dove il taglio ortogonale all'asse dei punti dati otteniamo la soluzione centri circonferenze.

Quarto problema

Continuiamo con il caso di un cerchio tangente a tre linee, in questo caso, ci saranno quattro possibili soluzioni, come verrà illustrato di seguito in foto.

La procedura è semplice:
-Come sappiamo il centro dei cerchi deve essere nei bisettrici interne ed esterne che formano tre linee. Circonferenze producendo cercarono presso le intersezioni di queste linee.

Quinto problema

Il prossimo caso di spiegare a assume un cerchio tangente a due linee e che passa attraverso un punto.

In questo caso si parla di diverse possibilità:

1- Se le linee sono tagliate e il punto è tra di loro:

In questo primo caso ciò che saremo hllar la bisettrice dell'angolo e trovare la controparte del punto dato, dopo di che il problema si riduce ad un cerchio tangente ad una retta che passa per due punti

( spiegato sopra).

2-: Può accadere che il punto dato appartiene ad una delle linee date:

In quest'ultimo caso, che facciamo è tracciare le bisettrici dei due áangulos formano due linee e il punto dato disegnare una perpendicolare alla linea che lo contiene che bisettrici ali tagliate a punti ricercate, cioè i centri delle circonferenze.

3: Infine si discuterà la possibilità che le due linee date sono parallele.

Una sanno che il punto è tra le due linee, quindi disegnare un cerchio di centro A e diametro pari alla distanza tra le linee. Si ottiene così i centri delle due soluzioni all'intersezione con il parallelo mezzo. Il punto può anche encontar in una data linea come punto B , pertanto trovare il centro del cerchio come intersezione della media soluzione parallela e perpendicolare ad una delle due linee parallele a detto punto B.
Di seguito vengono riportati:

Sesto problema

Questo problema è basata sulla creazione di un cerchio tangente a due altri, e mentre passa per un punto .. Avremo quattro possibili soluzioni.

Consideriamo il punto che diamo come centro per gli investimenti e l'assunzione di uno dei due cerchi, circonferenza autoinversión, quindi tracciare i punti dobles.Y circunferncia successivamente trovare il circunferenica di inversión.las circuanferencias tangenti a cifre indicate sono inverse della soluzione e contengono anche circonferenze punti tangenti alla sua intersezione con il circunferncia tratteggiata trovare dobles.Posterioemente . Infine circonferenze tarzar.

Settima edizione

Vi spiegheremo come eseguire la tangente circunferncia a due linee e che a sua volta è tangente a un altro cerchio dada.Podremos dividere il problema in due:

1- Discutere il caso in cui la circonferenza dato è tra le linee. Il primo passo è di costruire entrambi i lati di una delle rette parallele ad una distanza pari al raggio del circunferncia dato, Poi trovare il simmetrica rispetto al centro di detta circonferenza rispetto al bisetriz l'angolo formato dalle due linee. La retta che unisce il centro e la sua breve omologo ad una delle linee rette in un punto, da quel punto attingiamo tangenti al centro circunfercia e passante per il centro della controparte. Poi disegna un arco con centro e making trovato attraverso i punti di tangenza, quindi quello che otteniamo è tagliata parallelamente al primo giudice ha trovato in due punti, infine alzato da questi punti perpendicolari alla bisettrice taglio in due punti, Seren che i centri del circunferncias buscadas.Para per trovare l'altra soluzione due circunferncias tutto quello che dovete fare è ripetere il processo di nuovo con l'altro parallelo, in modo da ottenere le quattro soluzioni del problema.

2- Può accadere che un dato circonferenza tangente delle linee, dunque per risolvere lo stesso modo di prima, ma due dei cerchi corrispondono alla soluzione coppia ausiliaria esterna ( viene eseguita nello stesso modo di prima) e le altre due soluzioni sono ridotte ad un caso in cui due linee si intersecano, poiché sappiamo la linea di contatto unico.

Problema Ottava:

In questo caso, il problema di Apollonio è dato due cerchi e una linea, trovare un cerchio che è tangente ai due cerchi e dritto.

Questo caso complicato, otto soluzioni, riduzione è ottenuta dal caso di un punto (il centro di una delle circonferenze), una linea (uno parallelo al dato) e una circonferenza (un cerchio concentrico alla sinistra). Circonferenze concentriche dei cerchi dati hanno un raggio R R e Rr essendo raggi R e R data circonferenze e parallela alla distanza r retta è tracciata nella linea dato.

Così, questi quattro cerchi sono stati ottenuti considerando un cerchio concentrico di raggio R r; dei quattro circonferenze, due sono ottenute con uno del parallelo e le altre due con l'altra.

Questi quattro cerchi sono ottenuti soluzione ora si considera un cerchio concentrico di raggio RR e di nuovo, uno dei due parallele e due con l'altra.

Ecco gli otto soluzioni nella stessa figura.

Nona edizione

Lasciare sviluppare il penultimo evento dei dieci problemi di Apollonio prima di raggiungere il problema fondamentale, in questo caso spiegheremo uno circunerencia passa per un punto ed è tangente ad un cerchio anziché una linea.

A seconda del posizionamento dei dati abbiamo quattro soluzioni ma in alcuni casi non raggiunto alcun.

Per relizarlo deve seguire una serie di passaggi:

1. La linea è la figura investimento circonferenza , trovare una linea perpendicolare a quella linea e passante per il centro del circunferecia dato, così troviamo il centro del cerchio di investimento( Punto I nel disegno).
2. Traccia arbitrario circonferenza che passa per il punto e punti che sono taglio diritto tarzado la circonferenza e la controparte dadas.Hallamos rettilineo dato punto e anche l'asse centrale radicale e radicale dato.( punti P e disegno P'en)
3. Noi tracciamo la bisettrice tra i punti P e P 'e vi troverai i centri della soluzione circoli. Poi il grado tarazamos 90 segmento di arco CR-O e quindi arrivare a definire il luogo di tangenza T.
4. Incentrato sulla CR e CR-T tagliato raggio r in T1 e T2. Da T1 ar una perpendicolare bisettrice taglia il PP’ in S2 e uno da T2 taglio ortogonale S1, centri della soluzione a due cerchi.
5. Così otteniamo due soluzioni.

1. Al fine di ottenere le altre due soluzioni dobbiamo considerare il centro di investimento negativo e trovare un '. Arbitaria Abbiamo disegnato un cerchio che passa per i punti A, A´ y P y posteriormente como en el caso anterior hallamos el punto P´y en centro y eje radical.
2. Realizamos el arco capaz de 90º del segmento CR-O, obteniendo de ese modo el lugar de tangencia T y como en el caso anterior cenro en CR y con radio CR-T hallamos los puntos de tangencia 3 e 4 al cortar a la recta en dos puntos.
3. Dibujamos la mediatriz del segmento PP’. Desde T3 una recta perpendicular a r corta la mediatriz de PP’en S3 y otra perpendicular desde T4 cortará en S4, centros de las otras dos circunferencias solución.

Décimo problema.

Infine parliamo del problema di Apollonio fudamental, en el cual una circunferencia tiene que ser tangente a otras tres. In questo caso possiamo ottenere fino a otto soluzioni a seconda di come i tre circonferenze che ci danno sono. Si procede come segue:

La prima cosa da fare è trovare il sei centri homotecia, tre interne e tre esterne, dei tre cerchi che ci danno. Questi sei punti capita di essere su quattro linee. Poi quello che facciamo è prendere uno dei quattro dritto e trovare il palo su tre cerchi, successivamente unito il centro radicale del cerchio con tre poli e ottenere i punti di tangenza dei cerchi con circonferenze dadas.Lo cercato Tutto ciò che facciamo ora è scegliere bene tra i sei punti di tangenza trovato per disegnare due cerchi tangenti. Questa procedura abbiamo fatto con una delle rettilineo, ciò che facciamo con gli altri tre, al fine di ottenere le otto soluzioni.

Essa mostra una foto di come sarebbe la soluzione finale. E 'un po' complicato esecuzione di questo esercizio, e questo è evidente in questa immagine.

Informazioni ottenute dalle: “Geothesis” “Zonabarbieri” La Bella Geometría.

Este artículo fue escrito por los alumnos de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Aeronáutica durante una experiencia de innovación educativa con uso del blog como herramienta formativa. Mi reconocimiento a su esfuerzo en sintetizar los métodos trabajados en el aula en este artículo que ha sido respetado casi en su totalidad, en forma y contenido