Categorías segundo orden

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: Aplicación de los haces superpuestos de segundo orden

Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar los haces superpuestos de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de puntos de tangencia en las tangentes de una cónica definida mediante cinco tangentes o cinco restricciones mediante la combinación de tangentes y puntos con sus respectivas tangentes. Veremos la aplicación del Punto de Brianchon en este tipo de problemas

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: Haces superpuestos de segundo orden

Para estudiar la cónica tangencial, y en particular las proyectividades entre haces de segundo orden superpuestos sobre una misma curva, podemos apoyarnos en el estudio dual del realizado con las series superpuestas de segundo orden.

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: Aplicación de las series superpuestas de segundo orden

Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar las series superpuestas de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de tangentes en puntos de una cónica definida mediante cinco puntos o cinco restricciones mediante la combinación de puntos y tangentes con sus respectivos puntos de tangencia.

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: Construcción dinámica de una cuaterna de puntos [Geogebra]

La aplicaciónGeogebrapermite elaborar construcciones dinámicas en las que podemos modificar la posición de los elementos que la forman, manteniendo las restricciones geométricas de estas figuras, permitiendo mostrar los invariantes de los mismos. Esta herramienta puede ser una valiosa ayuda para nuestros estudiantes.

El profesor Juan Alonso Alriols ha colaborado en la introducción de esta herramienta en las enseñanzas de “גראַפיק עקספּרעססיאָן” en la Universidad Politécnica de Madrid, aportando ejemplos de alto interés. Un ejemplo de su trabajo se puede ver en laConstrucción dinámica de razón doble de cuatro puntosque acompaña esta entrada, a la que ha añadido un texto conductor para el uso en nuestras clases.

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: Construcción de cuaternas de puntos

Hemos visto la definición de Cuaternas ordenadas de elementos, caracterizando a cuatro puntos de una serie rectilínea o cuatro rectas de un haz de planos mediante un valor o característica, resultado de obtener el cociente de dos ternas determinadas por dichos elementos.

Nos planteamos a continuación el problema de obtener, dados tres elementos pertenecientes a una misma forma de primera categoría, serie o haz, obtener un cuarto elemento que determine una cuaterna de valor concreto.

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: באַשטימונג פון האָמאָלאָגאָוס יסודות אין פּראָדזשעקטיווע בימז

איינער פון די ערשטער פּראָבלעמס מיר מוזן לערנען צו אַרבעטן אין פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי איז די פעסטקייַט פון האָמאָלאָגאָוס עלעמענטן, ביידע אין סעריע און אין באַנדאַלז און אין קיין טנייַ פון באַסעס, אָדער באַזונדער סופּעראַמפּאָוזד.

צו פאָרזעצן דעם לערנען פון די מעטאַדאַלאַדזשי צו ווערן געניצט וועט נוצן די צווייענדיק מאָדעל די יסודות באזירט אויף “ווייזט”, הייסט מיט גלייַך, ווייַטער אַסומינג אַז די באַסעס פון די ריספּעקטיוו בימז זענען אפגעשיידט פאַרבינדן.

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: ינטערסעקשאַן פון גלייַך און טייפּערד

La definición proyectiva de la cónica permite empezar a resolver problemas clásicos de determinación de nuevos elementos de la cónica (nuevos puntos y tangentes en ellos), así como encontrar la intersección con una recta o la tangente desde un punto exterior. Estos problemas pueden resolverse por diferentes métodos más o menos complejos conceptualmente y con trazados más o menos laboriosos.

Veremos a continuación cómo determinar los dos posibles puntos de intersección de una recta con una cónica definida por cinco puntos.

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: אָוווערלאַפּינג שאַפּעס ערשטער סדר

פּראָדזשעקטיווע אָוווערלאַפּינג שאַפּעס זענען אַ ספּעציעל פאַל פון פּראָדזשעקטיווע שאַפּעס, איר פאַרבינדן עלעמענטן פון דער זעלביקער טיפּ אַז טיילן אַ פּראָסט באַזע.

לעמאָשל, צוויי אָוווערלאַפּינג סעריע וועט האָבן די זעלבע שורה ווי די יקער פון דזשיאַמעטריק שאַפּעס, צוויי בימז פון דער זעלביקער ווערטעקס גלייַך (קאַנסענטריק באַנדאַלז) און צוויי בימז אָוווערלאַפּינג פּליינז אַרום דער זעלביקער אַקס (קאָאַקסיאַלעס).

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: אַרומנעם ווי אַ סעריע פון ​​רגע סדר

א קרייַז איז אַ קאָוניקאַל אַקסעס זענען פון גלייַך לענג, דערפאר מיר קענען זאָגן אַז זייַן עקסענטריסיטי איז נול (עקסענטריסיטי = 0). מיר קענען מייַכל די קרייַז ווי איינער סעריע פון ​​רגע סדר, באקומען דורך די ינטערסעקשאַן פון צוויי בימז פון שטראַלן קאָנגרוענט קאַונערפּאַרץ (זעלביקער אָבער ראָוטייטיד.) דעם באַהאַנדלונג וועט זיין נוצלעך צו ניצן ווי אַ פּראָדזשעקטיווע געצייַג און האַלטן די פעסטקייַט פון טאָפּל יסודות אין אָוווערלאַפּינג קאַנסענטריק סעריע און טאָן.

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: באַשטימונג פון האָמאָלאָגאָוס יסודות אין סעריע פּראָדזשעקטיווע

איינער פון די ערשטער פּראָבלעמס מיר מוזן לערנען צו אַרבעטן אין פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי איז די פעסטקייַט פון האָמאָלאָגאָוס עלעמענטן. צו אָנהייבן די לערנען וועט נוצן די מעטאַדאַלאַדזשי צו ווערן געניצט ווי געוויינטלעך מאָדעל-באזירט יסודות “ווייזט”, זינט עס איז גרינגער צו טייַטשן. דעריבער מיר וועלן באַטראַכטן די פעסטקייַט פון האָמאָלאָגאָוס יסודות אין סעריע פּראָדזשעקטיווע:
געגעבן צוויי פּראָדזשעקטיווע סעריע דיפיינד דורך דרייַ פּערז פון עלעמענטן (ווייזט) קאַונערפּאַרץ, באַשטימען די אַנטקעגענער פון אַ געגעבן פונט.

פּראָדזשעקטיווע דזשיאַמאַטרי: דעפֿיניציע פון ​​די קאַניקאַל פּראָדזשעקטיווע

קאָניק קורוועס, ווייַטער באַהאַנדלונג פון די מעטריק באזירט אויף די השגות פון טאַנגענסי, האָבן אַ פּראָדזשעקטיווע באַהאַנדלונג אַז רילייז אויף די קאַנסעפּס פון שטעלט און פּראָדזשעקטיווע באַנדאַלז.

מיר וועט זען צוויי זוך פון קאָניק צוגעפאסט צו “וועלט ווייזט” אָ על “וועלט פון גלייַך” לויט צו די אינטערעס, אין וואָס איז דיפיינד ווי די זוך “פונט” די “טאַנגענטיאַל” פון קאָניק קורוועס.