Polar de un punto respecto de dos rectas

El concepto de polaridad se encuentra ligado al de separación armónica.

Este concepto es básico para la determinación de los elementos fundamentales de las cónicas, como su centro, diámetros conjugados, ejes ….

Permitirá establecer nuevas transformaciones entre las que se incluyen homografías y correlaciones de gran importancia.

Podemos ver diferentes definiciones asociadas a los conceptos que veremos a continuación, centrándonos en este caso en la determinación de la recta polar de un punto respecto de dos rectas dadas.

Recordaremos que dados cuatro puntos A, B, C y D, situados sobre una recta, podemos definir la razón doble de estos cuatro puntos (ABCD) como el cociente de las razones simples (ACD) y (BCD). La razón doble la estudiamos al definir las cuaternas ordenadas de elementos mientras que la razón simple fue formulada en la introducción a ternas ordenadas de elementos.

Análogamente definíamos la razón doble de cuatro rectas, representado como (abcd), y relacionábamos esta razón doble con la de los puntos obtenidos al seccionar estas rectas, siendo iguales y por lo tanto (ABCD)=(abcd)

¿A qué llamamos cuaterna armónica?

Cuando el valor de la razón doble es “-1”, es decir, la unidad negativa, decimos que los elementos de la cuaterna (ABCD)=(abcd)=-1 determinan una cuaterna armónica, y en consecuencia los dos primeros elementos, puntos o rectas, separan armónicamente a los dos últimos de cada cuaterna, es decir:

• Si (ABCD)=-1 entonces “A” y “B” separan armónicamente a “C” y “D”
• Si (abcd)=-1 entonces “a” y “b” separan armonicamente a “c” y “d”

Este mismo texto lo usábamos para analizar las relaciones armónicas en el cuadrivértice completo, relaciones que serán muy útiles ahora para la determinación de la polar de un punto respecto de dos rectas.

Sea un punto P y dos rectas “a” y “b” que no le contienen.

Seccionemos a las rectas “a” y “b” por una recta cualquiera que pase por “P“. Esta recta cortara en los puntos “A” y “B” a las rectas anteriores. Sea el punto “P’” un punto situado entre “A” y “B“, de forma que (PP’AB)=-1, es decir, que P y P’ separen armónicamente a los puntos A y B

Definiremos a la polar del punto P respecto de las rectas “a” y “b” al lugar geométrico de los infinitos puntos como el P’ que separan armónicamente a los puntos de intersección, A y B, de las rectas que pasan por P con “a” y “b”.

El punto P’ se puede obtener mediante un cuadrivértice completo. Vemos al realizar la construcción que la recta “p” que pasa por P’ y por el punto I de intersección de “a” y “b” cumple las condiciones de este lugar geométrico, ya que sería la diagonal de un cuadrivértice en los que el punto P y el punto I son puntos diagonales.

• Al punto P le denominaremos Polo de la recta p
• A la recta p le denominaremos polar de P, o polar del punto P

Los puntos P y P’ son conjugados respecto de las rectas a y b. Todos los puntos de la recta p son conjugados respecto del punto P. Al buscar la polar respecto de cualquiera de ellos debe de pasar por P.

Geometría Proyectiva