Projektiewe meetkunde: Haces superpuestos de segundo orden

Hemos visto la generación proyectiva de la cónica desde dos enfoques duales:

Cónica puntual: La cónica queda determinada por los infinitos puntos de intersección de dos haces proyectivos

Cónica tangencial: La cónica queda determinada por las infinitas rectas que proyectan elementos homólogos de dos series proyectivas.

Para estudiar la cónica tangencial, y en particular las proyectividades entre haces de segundo orden superpuestos sobre una misma curva, podemos apoyarnos en el estudio dual del realizado con las series superpuestas de segundo orden.

El procedimiento de trabajo con estos haces es análogo al que vimos al obtener elementos homólogos en las proyectividades entre dos haces de primer orden, waarin ons intermediêre vooruitsigte vorms bepaal (n reeks van punte) determinando su centro perspectivo que denominábamos “centro proyectivo de los haces".

Die proyectividad entre dos haces superpuestos tweede orde sal bepaal word wanneer ons weet tres parejas de tangentes homólogas sobre una misma cónica. ('n-a ', b-b ', c-c ")

Onthou dat 'n keël sal bepaal word deur vyf voorwaardes (die raaklyn punte reguit). Como comentario adicional, recordaremos que una recta queda determinada por dos de sus puntos, pero si queremos definir una proyectividad entre series superpuestas necesitaremos relacionar tres pares de puntos que pertenezcan a dicha recta.

In figuur, la proyectividad queda definida por las parejas de rectas homólogas a-a’, b-b’ y c-c’.

Si seccionamos por dos rectas homólogas (byvoorbeeld 'n en 'n ') los elementos de cada haz se obtienen series perspectivas ya que tienen un punto doble (A-A '). Estas series se proyectarán desde su centro perspectivo que será el “centro proyectivo de los haces de segundo orden”. Este punto, V en la figura, se conoce con el sobrenombre de “Punto de Brianchon"

Para determinar el elemento homólogo de una recta x cualquiera operaremos igual que con los haces de primer orden. Seccionaremos la recta x por un elemento (el a’) para obtener el punto X asociado en las series perspectivas anteriores. El punto de la serie homóloga, X ', se encontrará alineado con el centro perspectivo de las series (centro proyectivo de los haces) y contendrá a la recta x’ homóloga de x.

Las tangentes desde el centro proyectivo, si existen, determinarán los elementos dobles de los haces superpuestos de segundo orden. Om dit te monitor, obtendremos el homólogo de estos rayos considerándolos pertenecientes a cualquiera de los haces, tal y como hemos realizado con el rayo x anteriormente transformado. Die leser is daar kontrole.

Let daarop dat hierdie analise word getoon tapse begrip van die konsepte te verbeter. As die koniese ons nie oor die algemeen, la obtención del elemento x’ homólogo del x deberá realizarse mediante la obtención de dos puntos, repitiendo el procedimiento de sección por una nueva tangente.

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