Geometria proiettiva: Determinazione di elementi omologhi in serie proiettiva

Uno dei primi problemi che dobbiamo imparare a lavorare in geometria proiettiva è la determinazione degli elementi omologhi, entrambi i fasci e serie e qualsiasi disposizione di basi, o separati sovrapposti.

Per avviare lo studio utilizzerà la metodologia da utilizzare come al solito gli elementi basati su modelli “punti”, poiché è più facile da interpretare, supponendo inoltre che la base della serie corrispondenti sono separati riguardanti,.

Pertanto considereremo la determinazione di elementi omologhi in due serie proiettiva che hanno elementi comuni. La dichiarazione problema, generalmente, può essere:

Dato due serie proiettivo definito da tre coppie di elementi (punti) controparti, determinare la controparte di un determinato punto.

Il punto di dati può appartenere a qualsiasi serie e non vediamo quindi appartengono alla base dell'altro.

Risolveremo questo problema utilizzando perspectividades intermedi di stabilire tra le due serie proiettiva, ottenendo così la Asse proiettiva delle due serie (dritto e). Come abbiamo visto, asse proiettiva della serie è l'asse prospettiche delle travi otteniamo proiettando i punti di una serie da qualsiasi altro elemento, e proiettare contemporaneamente le loro controparti dall'elemento controparte vertice geometrico utilizzato come primo screening.

Asse proiettiva di due serie (Travi assi prospettici)

Noi determinare comunque, pertanto, gli Asse proiettive di serie.

Ottenere l'asse proiettivo di due serie:

I diversi casi che si possono verificare saranno determinati dai dati che definiscono serie proiettiva, può essere in linea di principio:

Coppie ordinarie di punti omologhi (3 massimo)
Punti limite di punti impropri o omologa ( a due possibili)
Omologhi dei punti di intersezione delle basi ( 2 massimo)
Direzione dell'asse proiettiva

Siamo in grado di combinare questi dati per determinare un problema specifico, ogni volta che portiamo il numero necessario di essi. Il problema sarà determinato quando sappiamo che tre coppie di elementi omologhi o dati equivalenti. Pertanto risolvere questo primo caso:

Dati tre punti in serie e le loro controparti, determinare l'asse proiettiva di detta serie

I dati sono i punti A, B e C e loro corrispondenti punti di aggancio A ', B’ y C '. Il punto di intersezione della base M = N’ contenere un punto di ciascuna delle serie.

Per determinare l'asse proiettive bisogno di un paio di punti nella stessa. Questi possono essere determinati come intersezione di due raggi omologhi fasci prospettici due vertici di un paio di punti omologhi.

Point “1” può essere considerato come un punto di intersezione di due fasci di raggi omologhi ottenuti proiettando da A e A’ punti B e B ', ma possiamo anche capire che i vertici delle travi sono B e B’ e punti proiettati A e A '.

L'asse è stato determinato dal punto precedente e il punto “2” che si ottiene in modo simile al precedente, mettere in relazione i punti B e C con le loro controparti B’ y C '.

Omologhi di intersezione delle basi sono i punti di intersezione dell'asse di proiezione con ciascuna delle basi. Questi elementi possono essere ottenuti come qualsiasi punto sconosciuto X.

Ottenere elementi simili

Utilizzando l'asse proiettiva è facile determinare la controparte di qualsiasi punto; esempio si ottiene la controparte di un punto X.

Per semplificare la figura ci ritroviamo con un elemento di A e la serie asse proiettiva controparte A'y.

Se proiettiamo da A’ punto X, lampo generato e il suo omologo (Un fascio vertice) sono stati tagliati nell'asse proiettive (punto “3”). La controparte ray contiene l'elemento (X ') Ricerche.

Elementi di contorno

Analogamente al caso visto per il punto X, possiamo avere la cosiddetta “punti limite” omologhi sono punti serie impropri (punti all'infinito). La figura seguente mostra la controparte di una di esse è determinato, improprio per la s-series. Sporgente dal punto della serie è limitata avere la ray parallelo alla serie che passa attraverso la proiezione vertice. L'intersezione di questo raggio con l'asse proiettiva (punto 4) consentono di ottenere la controparte fascio di raggi prospettiva e di conseguenza il punto ricercato.