Che cosa è un'involuzione in geometria?

In geometria, parliamo spesso con termini che, in alcuni casi, non sono sufficientemente importanti nel linguaggio quotidiano. Questo porta alla creazione di ostacoli nell'interpretazione di alcuni semplici concetti.

Uno dei termini che mi è stato chiesto più volte in classe è il di “Involuzione”. Definiamo l'involuzione.

¿Che cosa è un'involuzione?

Cercheremo una prima approssimazione nel Diccionario de la Lengua Española

“Battuta d'arresto nel progresso o evoluzione di un processo” [1]

Origine latina deriva dal “Involutio”, “Involutionis”, mezzi “avvolgere”, “Trasformare una cosa in vostro interno”.

Vediamo che il termine indica un'operazione contraria quindi eseguita su se stesso.

Che cosa è un'involuzione in matematica?

Se applichiamo un f trasformazione un elemento x di un insieme X ottenere suo trasformato x'. Questa può essere espressa come f(x)= x ’.

Un'involuzione è una trasformazione che applicare nuovamente la trasformazione al precedente elemento trasformato ottiene l'elemento di partenza

vale a dire:

f(f(x))= x

Che cosa è un'involuzione in geometria?

In geometria, lavoriamo con rappresentazioni grafiche degli elementi matematici. Possiamo trovare per ogni punto, dritto o a livello dei loro modelli una notazione matematica che lo caratterizza, così in linea di principio non dovremmo fare alcuna differenziazione in merito alla definizione di cui sopra.

Tuttavia gli elementi che usiamo, pur essendo astratti, Essi possono essere manipolati come entità specifiche (i punti di una figura geometrica, per esempio) per quello che può valere la pena di parlare di “trasformazioni involutionary” per avvicinarsi al concetto di operazioni grafiche.

Per concludere questa breve introduzione al concetto di involuzione noi possiamo discutere alcuni esempi che noi chiarire questa idea.

Una semplice trasformazione involutiva è la simmetria, entrambe le piante assiale e potenza. Se trasformiamo un punto P in P’ utilizzando la simmetria, È immediata per vedere quel nuovo applicazione della trasformazione a P ’, chiamandolo Q, il mutato Q’ individua l'elemento originale P.

Non dobbiamo interpretare come un'involuzione della trasformazione inversa, Ora questa ultima può esistere per trasformare chiunque che non involutive.

Per esempio, C'è una funzione inversa che è diversa e lo stesso indirizzo del modulo ma conversione inversa in una traduzione. La traduzione non è involutive già che se trasformato un punto P in P’ e torniamo ad applicare la stessa traduzione per P’ Non otteniamo il punto iniziale p.

Alcune trasformazioni geometriche non sono involutive e in generale possono essere in alcun caso particolare. Una svolta non è involutiva, Ma se l'angolo di rotazione è di 180 ° se sarà.

Vedere soprattutto l'applicazione di questi concetti nelle trasformazioni proiettive, studiando le serie e fasci di primo e secondo ordine in involuzione.

[1] Manuale del dizionario di lingua spagnola Vox. © 2007 Larousse Editorial, S. L.

[2] Involuzione (Gli)