Gli trasformazioni involutionary applicazioni biiettive di grande interesse sono utilizzabili nelle costruzioni geometriche, Poiché essi semplificano notevolmente.
Vedremo come definito un'involuzione in serie di secondo ordine, con base una conica, Confrontando il nuovo modello di trasformazione proiettiva con la studiata nel cosiddetto serie di secondo ordine di sovrapposizione .
Ricordiamo che per determinare il è tra due serie sovrapposte di secondo ordine (base di una comune forma conica) Abbiamo iniziato a tre punti, A, B y C, e le loro rispettive controparti: Un ', B’ y C '.
Per proiettare il otraserie elementi da due punti omologhi ottenuto prospettiva cui asse prospettiva era albero serie proiettive, chiamato “Dritto da Pascal”.
Per definire un'involuzione enseries di secondo ordine dovrà riguardare solo due coppie di punti. Nella figura l'involuzione è determinata da coppie di elementi omologhi un.’ e b-b’
Questo non significa che noi stiamo determinando una conica, da quattro punti, ma che, dato qualsiasi cono, Se prendiamo quattro punti possiamo determinare un'involuzione dei punti. In modo simile, nel caso precedente della serie sovrapposte, Noi non stavamo definendo la conica di sei punti, Abbiamo semplicemente residuo li proyectivamente.
A dirci che i punti di un.’ e b-b’ Essi sono in involuzione, ci dicono che c'è una doppia corrispondenza tra di loro in modo che, Se consideriamo che sul B’ C'è un altro sistema che possiamo chiamare “C”, tuo C trasformato’ è nella stessa posizione come punto B.
Noi potremmo ripetere questa idea con un punto, Sebbene non sia necessario dato che abbiamo convertito il problema di determinare gli elementi dei è nel caso ben noto, citato all'inizio, serie di secondo ordine di sovrapposizione.
Possiamo pertanto determinare il proiettivo come nel precedente caso asse, proiettando da un punto di A e la sua controparte A’ punti B ’-C’ e B-C per determinare il punto di vista due fasci. Questo asse proiettivo è indicato come “Asse di involuzione“
Asse di involuzione
Questa linea sarà molto utile per operare con la conica.
Possiamo chiederci qualche problema di applicazione immediata, come può essere quello di ottenere una nuova, sia trasformato il quinto punto che completa la definizione della conica.
Ottenere la controparte del punto “X” in involuzione definita da coppie di punti omologhi a-a. ’, B-B’
La figura è stata rappresentata l'asse dell'involuzione che abbiamo precedentemente calcolati, eliminando i percorsi per semplificare l'immagine
Operiamo come nel caso della serie sovrapposte di secondo ordine, proiettando il punto da V ’ = a e trovando il fascio omologa prospettiva di Ray che viene tagliato nell'asse proiettivo (elemento (J)) e sarà necessario per ogni vertice V = a ’.
Il punto cercato sarà pertanto la retta a-j. Dovremo ripetere questa procedura, sporgente dal B e B’ per individuare una nuova linea retta in cui il punto cercato è (Intersezione di due loci).
Si noti che anche se abbiamo rappresentato il cono per facilitare l'interpretazione della geometria che noi stiamo analizzando, Questa curva non è disponibile nei nostri percorsi
Abbiamo determinato il “Asse di involuzione” e lo abbiamo utilizzato per determinare gli elementi omologhi nella trasformazione proiettiva definita da. Vedremo nuove proprietà e suo utilizzo nella determinazione degli elementi principali della conica, centro, diametri, assi, per andare avanti nello studio associato a questa interessante trasformazione.
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