Geometria proiettiva: Terne ordinate di elementi

Terne ordinate di elementi

La geometria metrica è basata sul nome Teorema di Pitagora. Tutti i teoremi sono dedotti dal concetto di misurazione che è derivata da triangoli rettangoli.

In modo simile, geometria proiettiva si basa su un altro importante teorema, gli Teorema di Talete, che invece di un concetto metrico stabilisce la nozione di rapporto delle misure, come invarianti proiettive.

Concetto di triadi di elementi

Tre elementi appartenenti alla prima classe consente di determinare un Terna.

Nel caso di utilizzo degli elementi di punti, Quindi diciamo che tre punti determinano un elenco dettagliato dei punti.

Gli elementi possono essere sia punti e linee o piani, anche hiperelementos triadi possono provocare geometrie più complesse.

Per rappresentarlo simbolicamente, usiamo la notazione seguente:

• Tre punti: (ABC)
• Preselezione di linee rette: (abc)
• Tre aerei: (W)

La lista ha un valore numerico o caratteristica associati che prevede la gestione dei termini che li formano.

• (ABC) = AB / AC = Λ. [CE. 1]
• (abc) = sen(AB)/Sen(AC) = Λ. [CE. 2]
• (W) = sen(ΑΒ)/Sen(N(H,ΑΓ)) = Λ. [CE. 3]

Shortlist ordinata di punti

Si imposta il valore di un elenco dettagliato dei tre punti come il rapporto delle due lunghezze, del segmento formato dal primo e il secondo punto di preselezione e il segmento formata dal primo e il terzo punto:

CE. 1

I segmenti possono essere segno. Il senso del segmento AB è in contrasto con il BA, o quello che è lo stesso, AB = – BA

-Si può capire una preselezione come la misura di un segmento di prendere l'altro come unità.

Per esempio, Se B è il punto medio del segmento AC, la preselezione (ABC) = 1/2. Il segmento AC agisce come un'unità di misura.

Ordinato la shortlist delle linee rette

Si imposta il valore dell'elenco dettagliato dei tre rettilinei come il quoziente tra due seni, dell'angolo formato dai due prime linee e che determina il primo e il terzo dritto:[CE. 2]

CE-2

Tre linee di un fascio di vertice V, e i tre punti in una serie da una sezione di trave dritta possono essere correlati utilizzando i valori delle sue triadi.
Questo valore o la funzionalità di tripla È un elemento fondamentale per classificare le proiezioni, in modo tale che quelli in cui è invariante sono comuni e indipendenti dal tipo di proprietà di proiezione.

Figura 2.- Relazione tra triadi di punti e linee

Proiettando ortogonalmente i punti B e C della rerie rettilineo sulla linea di fig. 1, Ottiene i punti B e C'. I triangoli ABB' e ACC' sono simili affinché, l'applicazione di relazioni secondo il teorema di Talete:

(abc) = sen(AB)/Sen(AC) = Λ [CE. 2]

Il valore del seno dell'angolo formato da rettilineo a e b, nonché quella formata da linee rette un e c sarà:

Equazioni di angoli tra le linee

Se questi ultimi valori vengono sostituiti nella [CE. 2] Temperatura:

equazione 6. Relazione tra triadi di punti e linee

Pertanto, generale, (ABC) ≠ (abc), il valore di un tripletto di linee è diverso dal di un tripletto di punti che seziona si.

Se sezionare un fascio di linee di due linee non parallele, alcune serie sono prospettive tra loro, Anche le terne di punti non hanno la stessa caratteristica.

Un esempio è la proiezione conica da un punto di V.

Fig-3 potenziali tra serie

Per le due triadi sono uguali è necessario che il rapporto VC/VB è uguale all'unità. Questo si ottiene quando il vertice è un punto improprio, o quando il rettilineo linee quali sezioni sono parallele.
Questo permette di ottenere interessanti proprietà nella proiezioni cilindriche di natura (vertice improprio) e nelle proiezioni e, gli, sezioni da linee rette o piani.

Quando il vertice In trave dritta è nell'infinito, il termine VC/VB gli [CE. 6] tende all'unità, così la tripletta di punti hanno lo stesso valore per la tripletta di linee.

Fico-4 conservazione della semplice ragione nelle sezioni di retta parallela Quando tre dritto sezionamento di un fascio di vertice improprio (retta parallela, b e c nella figura ), le triadi diverse di punti i risultati della sezione hanno quindi un valore o una proprietà stesso. Questo caso corrisponde con proiezioni conosciute come proiezioni cilindriche, dove vengono proiettati secondo una direzione ortogonale o inclinata rispetto al piano di proiezione, o piano di disegno.

Fig.- 5 Semplice ragione nelle sezioni di conservazione paralleli Quando tre dritto sezionamento di un fascio di proprio vertice (retta parallela, b e c nella figura ), le triadi diverse di punti sezione risultati sono quindi stesso valore. Questo caso corrisponde con proiezioni coniche su piani o linee parallele e alla homotecias.

Conservazione della semplice ragione in proiezioni cilindriche:

Il modello proiettivo può essere molto utile nello studio dei sistemi di rappresentazione. Per ottenere le diverse rappresentazioni sono elementi proiettati su un piano di proiezione.

Questo processo implica l'uso della due operazioni proiettive:

• Abbiamo in programma punto
• Sezionare il raggio risultante nel piano di proiezione.

Possiamo usare i termini proiettivi ad esempio per definire il concetto di proiezione di un elemento.

• Un punto da un altro progetto è quello di definire la linea che appartiene a entrambi gli elementi (Rettilineo Series)
• Proiettare una linea retta da un punto è quello di definire il piano appartenendo a entrambi gli elementi (Preparate)
• Proiezione di un aereo da un punto è per definire il set di linee dritti/aerei appartenenti al punto e le linee di punti del piano (Radiazione di linee/aerei)

Quando si proietta gli elementi, il centro di proiezione può essere:

• Il proprietario
• Impropria

Nel caso di una proiezione con centro improprio (o anche conosciuto come proiezione cilindrica), è conservato nelle Triadi di raggi proiettando semplice ragione.

(WBA) = (A STO 'B')

Fig.- 7 Proiezione del punto medio di un segmento su proiezione cilindrica.

La proiezione del punto centrale, pertanto, Questo corrisponde al punto centrale della proiezione.

Questo risultato è utile in molti problemi in quanto il rapporto tra parti, la sua geometria, È noto.

Ad esempio l'ottenimento della proiezione del baricentro di un triangolo può essere limitata nuovamente per individuare il centro di gravità del triangolo proiettato.

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Geometria proiettiva