Geometria proiettiva: Perspectivity

Los fundamentos proyectivos se basan en las definiciones de “triple ordinati di elementi"E “cuaternas que permiten establecer el concepto de razón doble“, e le relazioni chiamato “prospettive” tra gli elementi di natura identica o diversa.

Queste relazioni prospettive, che verrà utilizzato nella determinazione sistemi di rappresentazione proiezioni, definita da due operatori proiettivi:

Proiezione
Sezione

Progetto da un vertice In una serie rettilinea s, formata da un insieme di punti allineati A, B, C …. ottenere il fascio è diritta un, b, c … vertice al centro di proiezione In.

Sezioni por una recta s un fascio di linee simultanee un, b, c …Vertice In, es obtener la serie rectilínea de puntos alineados A, B, C ….basato dritto s.

Se prendiamo questi quattro elementi di forme geometriche (serie e fare linee rette) possiamo determinare quadruple di elementi che hanno un valore specifico della vostra proprietà, come abbiamo definito lo studio quadruple degli articoli ordinati. Questo valore, come discusso, è la stessa in caso di quaternioni in linee tratteggiate e se una proiezione o sezione sono dall'altra. Vale a dire:

(abcd) = (ABCD)

Il rapporto trasversale di quattro linee di un singolo fascio, è il numero di punti ottenuta come un tratto rettilineo che non contiene alcun vertice del fascio.

Allo stesso modo abbiamo la doppia teorema:

Il rapporto trasversale di quattro punti della stessa serie, Si ottiene come proiezione retta da un qualsiasi punto che non contiene la base della serie.

Diciamo che la linea e il raggio sono parte prospettica o se si sta proiettando un altro.

Pertanto prima definizione di perspectivity tra forme della stessa classe, ma di natura diversa (Vs punti consecutivi).

Possiamo stabilire una prospettiva concetto simile tra due travi o due serie?

Fascio perspectivity dritto.

Possiamo dare diverse definizioni di perspectivity tra due travi complanari dritto.

Due fasci di diversi vertici dritto, In e In', prospettiva sono reciprocamente, come può essere ottenuto come proiezione di una serie comune.

e: asse prospettico

Quando sporgente dal vertici V e V’ punti (ABC…) prospettica di una serie di due travi hanno un fascio comune si ottengono ( d = d '), in modo che tenga che quaternioni elementi correlati sono identici:

(abcd) = (ABCD) = (a'b'c'd ')

Fasci di vertici V e V 'sono prospettica con asse prospettico dritto e supporto (di base) Serie proiezione.
Ogni linea di fascio vertice V e il suo fascio omologo vertice V ' taglio su tale asse.
L'elemento d = d 'contenente la base V e V' travi, è un doppio elemento

Perspectivity tra insiemi di punti.

Come in ogni teorema possiamo stabilire in geometria proiettiva, può ottenere un doppio cambio l'elemento che determina. Così, nel caso di una serie di punti spectivity trovare una definizione simile a quella proposta per le travi dritte:

Della serie di punti di basi differenti, s e s', prospettive sono reciprocamente, come può essere ottenuto come una singola sezione del fascio.

In: Centro prospettiva

Su sezionamento da retta r e r’ Raggi (abc…) Do due prospettive di una serie che hanno un punto in comune si ottengono ( D = D '), in modo che tenga che quaternioni elementi correlati sono identici:

(ABCD) = (abcd) = (A'B'C'D ')

Il set di base r e r'Le prospettive sono con Centro prospettiva Supporto punto V (vertice) trave che sezionato.
Ogni punto nella serie di base ry loro omologhi serie di base r’ previsto che il centro.
L'elemento D = D 'contenente la base r r' serie, è un doppio elemento

Dualidad en el plano

Vemos por lo tanto que existe una dualidad entre las propiedades y teoremas que vinculan a los punto y las rectas del plano, pudiéndose obtener unos de otros al cambiar las palabras punto y plano en los enunciados, y las operaciones de proyección por las de sección.

Como resumen de lo anterior, podemos presentar un simple diagrama que simplificará lo expuesto. Veremos más adelante la importancia de las relaciones perspectivas para entender las proyectivas.