Geometria proiettiva: Terne ordinate di elementi

Terne ordinate di elementi

La geometria metrica è basata sul nome Teorema di Pitagora. Tutti i teoremi sono dedotti dal concetto di misurazione che è derivata da triangoli rettangoli.

In modo simile, geometria proiettiva si basa su un altro importante teorema, gli Teorema di Talete, che invece di un concetto metrico stabilisce la nozione di rapporto delle misure, come invarianti proiettive.

Concetto di triadi di elementi

Tre elementi appartenenti alla prima classe consente di determinare un Terna.

Nel caso di utilizzo degli elementi di punti, Quindi diciamo che tre punti determinano un elenco dettagliato dei punti.

Gli elementi possono essere sia punti e linee o piani, anche hiperelementos triadi possono provocare geometrie più complesse.

Per rappresentarlo simbolicamente, usiamo la notazione seguente:

• Tre punti: (ABC)
• Preselezione di linee rette: (abc)
• Tre aerei: (W)

La lista ha un valore numerico o caratteristica associati che prevede la gestione dei termini che li formano.

• (ABC) = AB / AC = Λ. [CE. 1]
• (abc) = sen(AB)/Sen(AC) = Λ. [CE. 2]
• (W) = sen(ΑΒ)/Sen(N(H,ΑΓ)) = Λ. [CE. 3]

Shortlist ordinata di punti

Si imposta il valore di un elenco dettagliato dei tre punti come il rapporto delle due lunghezze, del segmento formato dal primo e il secondo punto di preselezione e il segmento formata dal primo e il terzo punto:

CE. 1

I segmenti possono essere segno. Il senso del segmento AB è in contrasto con il BA, o quello che è lo stesso, AB = – BA

-Si può capire una preselezione come la misura di un segmento di prendere l'altro come unità.

Per esempio, Se B è il punto medio del segmento AC, la preselezione (ABC) = 1/2. Il segmento AC agisce come un'unità di misura.

Ordinato la shortlist delle linee rette

Si imposta il valore dell'elenco dettagliato dei tre rettilinei come il quoziente tra due seni, dell'angolo formato dai due prime linee e che determina il primo e il terzo dritto:[CE. 2]

CE-2

Tre linee di un fascio di vertice V, e i tre punti in una serie da una sezione di trave dritta possono essere correlati utilizzando i valori delle sue triadi.
Questo valore o la funzionalità di tripla È un elemento fondamentale per classificare le proiezioni, in modo tale che quelli in cui è invariante sono comuni e indipendenti dal tipo di proprietà di proiezione.

Figura 2.- Relazione tra triadi di punti e linee

Proiettando ortogonalmente i punti B e C della rerie rettilineo sulla linea di fig. 1, Ottiene i punti B e C'. I triangoli ABB' e ACC' sono simili affinché, l'applicazione di relazioni secondo il teorema di Talete:

(abc) = sen(AB)/Sen(AC) = Λ [CE. 2]

Il valore del seno dell'angolo formato da rettilineo a e b, nonché quella formata da linee rette un e c sarà:

Equazioni di angoli tra le linee

Se questi ultimi valori vengono sostituiti nella [CE. 2] Temperatura:

equazione 6. Relazione tra triadi di punti e linee

Pertanto, generale, (ABC) ≠ (abc), il valore di un tripletto di linee è diverso dal di un tripletto di punti che seziona si.

Se sezionare un fascio di linee di due linee non parallele, alcune serie sono prospettive tra loro, Anche le terne di punti non hanno la stessa caratteristica.

Un ejemplo es la proyección cónica desde un punto V.

Fig.-3 Perspectividad entre series

Para que sean iguales las dos ternas es necesario que el cociente VC/VB sea igual a la unidad. Esto se consigue cuando el vèrtice es un punto impropio, o cuando las rectas que seccionan son paralelas.
Esto permite obtener interesantes propiedades en las proyecciones de naturaleza cilíndrica (vértice impropio) y en las proyecciones y, o, secciones por rectas o planos.

Cuando el vértice V del haz de rectas se encuentra en el infinito, el término VC/VB de la [Ec. 6] tiende a la unidad, por lo que la terna de puntos tiene igual valor que la terna de rectas.

Fig.-4 Conservación de la razón simple en secciones por rectas paralelas Al seccionar tres rectas de un haz de vértice impropio (rectas paralelas a, b y c en la figura ), las diferentes ternas de puntos resultados de la sección tienen por tanto un mismo valor o característica. Este caso se corresponde con las proyecciones conocidas como proyecciones cilíndricas, en las que se proyecta según una dirección ortogonal u oblícua respecto del plano de proyección, o plano del dibujo.

Fig.- 5 Conservación razón simple en secciones por rectas paralelas Al seccionar tres rectas de un haz de vértice propio (rectas paralelas a, b y c en la figura ), las diferentes ternas de puntos resultados de la sección tienen por tanto un mismo valor. Este caso se corresponde con las proyecciones cónicas sobre planos o rectas que sean paralelos y en las homotecias.

Conservación de la razón simple en Proyecciones cilíndricas:

El modelo proyectivo puede ser de gran utilidad en el estudio de los sistemas de representación. Para obtener las diferentes representaciones se proyectan los elementos sobre un plano de proyección.

Este proceso implica el uso de las dos operaciones proyectivas:

• Proyectamos un punto
• Seccionamos el rayo resultante por el plano de proyección.

Podemos utilizar los términos proyectivos por ejemplo para definir el concepto de proyección de un elemento.

• Proyectar un punto desde otro es definir la recta que pertenece a ambos elementos (Serie rectilínea)
• Proyectar una recta desde un punto es definir el plano que pertenece a ambos elementos (Haz de rectas)
• Proyectar un plano desde un punto es definir el conjunto de rectas/planos que pertenece al punto y a los puntos/rectas del plano (Radiación de rectas/planos)

Al proyectar los elementos, el centro de proyección puede ser:

• Propio
• Impropio

En el caso de una proyección con centro impropio (o también denominada proyección cilíndrica), se conserva la razón simple en las ternas de rayos proyectantes.

(AMB) = (A’M’B’)

Fig.- 7 Proyección del punto medio de un segmento en proyección cilíndrica.

La proyección del punto medio, por tanto, se corresponde con el punto medio de la proyección.

Este resultado es de gran utilidad en numerosos problemas en que la relación entre sus partes, su geometría, es conocida.

Por ejemplo la obtención de la proyección del baricentro de un triángulo se puede limitar de nuevo a localizar el baricentro del triángulo proyectado.

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Geometría Proyectiva