Uma recomendação que sempre faço meus alunos é tentar resolver o mesmo problema de diferentes maneiras, em vez de muitas vezes os mesmos problemas com declarações quase semelhantes.

Em uma das minhas últimas aulas, discutimos a obtenção do inverso de um ponto, um investimento no centro e poder é conhecido. A declaração proposta foi a seguinte:

Desde a praça na Figura, em que um vértice é o centro de inversão e o vértice oposto é um duplo ponto, determinando o inverso do ponto A (vértice adjacente).

Podemos buscar diferentes construcciones que se basen en los conceptos utilizados tanto en la geometria métrica como na geometria projetiva. Iniciaremos el estudio inicialmente con cinco soluciones de naturaleza métrica.

Investimento no plano

Empezaremos por recordar la relación métrica entre dos puntos inversos, estudiada en el capítulo de “Investimento no plano“.

1. La inversión es una transformación con centro. Cada punto A y su transformado A’ están alineados con el centro de inversión Eu.
2. El producto de distancias del centro de inversión a un punto y a su transformado es constante y se denomina potencia de inversión. IA*IA’=cte.

En el ejercicio propuesto, al conocerse un punto doble, conocemos la potencia de inversión que es el valor de la diagonal al cuadrado. Todos los puntos de una circunferencia de centro el de inversión y de radio la raíz de la potencia (diagonal del cuadrado) serán puntos dobles. Esta circunferencia se conoce como “circunferência de autoinversión”

1 Cateter Teorema

El primer modelo propuesto se basaba en uno de los teoremas más usados en Geometria métrica, o “Teorema del Cateto”.

O Cateter Teorema nos permite relacionar mediante una media proporcional el cateto de un triángulo rectángulo con su proyección sobre la hipotenusa y el producto con ella.

Cateter Teorema

Si se considera al segmento IT como cateto de un triángulo rectángulo y al segmento IA como proyección de este cateto, al obtener la perpendicular por T se obtiene el punto A’ siendo IA’ la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

2 Cateter Teorema

A partir de este mismo concepto podemos realizar una nueva construcción en la que determinemos el arco capaz de 90º que va a soportar al triángulo rectángulo. Este arco capaz sobre el segmento buscado IA’ lo obtendremos ya que es una semicircunferencia que pasa por los puntos Eu e T, y tiene su centro en la recta IA. Determinaremos la mediatriz del segmento TI (que pasará por el punto A en este caso particular al ser la diagonal de un cuadrado) y de terminaremos el centro del arco capaz sobre la recta IA.

3 Conceitos de energia

O potência de um ponto sobre um círculo, que definimos como la mayor por la menor distancia del punto a dicha circunferencia y que es igual al segmento de tangencia (desde el punto a la circunferencia) quadrado, nos permite obtener nuevas construcciones.

En la figura vemos cómo el segmento de tangencia “o” es media proporcional entre “m” e “n”.

Para la nueva construcción determinaremos una circunferencia en la que IT es el segmento de tangencia y debe pasar además por el punto “A“, por lo que su centro estará en la intersección de la recta perpendicular a “I-T” por “T“, con la mediatriz de “A-T”

4 Conceitos de energia: Antiparalelismo das fitas

O um conceito de ponto de uma circunferência poder do produto é baseado na maior para a menor das distâncias de um ponto a um círculo.

Estes valores de distância são dadas na cadeia que contém o centro do círculo e o ponto, nomeadamente, na contenção diâmetro referido ponto. Es posible generalizar este concepto para considerar otras cuerdas que pasen por el punto P, como hemos visto en la “Generalización del concepto de potencia“.

Aplicando Teorema de Thales a los dos triángulos semejantes (PAD y PCB ya que comparten el ángulo en P y por ángulos en la circunferencia, arco capaz, son iguales en B y D) obteníamos que:

PA / PD = PC / PB

e, por conseguinte

PA * PB = PC * PS = Constante

Lo que demostraba que Energia a partir do ponto P é independente da linha escolhida, como queríamos provar.

Las rectas AB y CD son antiparalelas de AD y CB formando dos a dos los mismos ángulos.

En nuestro caso la recta I-T-T’ y la I-A-A’ serán antiparalelas de A-T’ y A’-T, siendo en este caso un ángulo recto el que forman dos a dos.

5 Investimento de uma linha

Al invertir figuras hemos visto que la inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que si pasa por este punto, cuyo centro se encuentra en la perpendicular a la recta desde el centro de inversión.

La inversa del segmento A-T será un arco de circunferencia cuyo centro se situará sobre la recta I-A, y pasará por el centro de inversión “Eu” así como por el punto doble “T-T'”

O 5 primeras soluciones son de naturaleza métrica. Veremos otras 5 utilizando los conceptos de la geometría proyectiva en el siguiente enlace.

(próximamente en este enlace ….) Solución proyectiva de la obtención del inverso de un punto

Geometria métrica