Проективная геометрия: Определение гомологичных элементов в серии проективных

Одним из первых проблем, которые мы должны научиться работать в проективной геометрии является определение гомологичных элементов, оба пучка и серии и какое-либо положение баз, или отдельный накладывается.

Чтобы начать изучение будет использовать методику, которая будет использоваться в качестве обычных основе моделей элементов “пунктов”, поскольку легче интерпретировать, считая далее, что в основе соответствующего ряда разделены относятся.

Поэтому мы будем рассматривать определение гомологичных элементов в двух проективной серии, которые имеют общие элементы. Постановка задачи, в целом, может быть:

Учитывая два проективную серию, состоящим из трех пар элементов (пунктов) коллеги, определить коллегу заданной точки.

Точка данных может принадлежать любой серии и мы поэтому принадлежит к основанию другой.

Мы решим эту проблему с помощью промежуточных perspectividades установить между двумя проективной серии, тем самым получая проективная оси из двух серий (прямой и). Как мы видели, проективная ось серии перспективные оси пучков получаем путем проецирования точек серии из любого другого элемента, и одновременно проецировать их коллеги из геометрического элемента коллега вершины, используемой в качестве первого скрининга.

Проективная ось двух серий (Перспективного балки оси)

Мы будем определять в любом случае, поэтому, el Ось проективные из серии.

Получение проективную ось двух серий:

Различные случаи, которые могут возникнуть будет определяться данных, определяющих проективное серию, может быть в принципе:

Обычные пары гомологичных точек (3 максимум)
Предельные точки ненадлежащих точек или гомологичных ( в двух возможных)
Гомологи точек пересечения оснований ( 2 максимум)
Проективная направление оси

Мы можем объединить эти данные, чтобы определить конкретную проблему, всякий раз, когда мы приносим необходимое количество них. Проблема будет определяться, когда мы знаем, три пары гомологичных элементов или эквивалентных им данные. Поэтому решить эту первый случай:

Учитывая три очка в серии и их коллеги, определить проективную ось сказал серии

Эти данные точки, В и С и соответствующие им связующих точек ", B’ у C '. Точка пересечения базовой M = N’ содержит точку каждой серии.

Чтобы определить ось проективные нужно пару точек в том же. Это может быть определено как пересечение двух гомологичных луча балки перспективного две вершины пару гомологичных точек.

Точка “1” можно рассматривать как точки пересечения двух гомологичных пучков лучей, полученных выступающий из А и А’ точки В и В ', но мы также можем понять, что вершины лучей являются В и В’ и прогнозируемого точки А и А '.

Ось была определена в предыдущем пункте, и точка “2” которая получается аналогично предыдущей, связать точки В и С со своими коллегами B’ у C '.

Гомологи пересечении оснований являются точки пересечения оси проекции с каждым из баз. Эти элементы могут быть получены, как и любой неизвестной точке X.

Получение подобные элементы

Использование проективную ось легко определить аналог любой точке; Пример получаем аналог точки X.

Для упрощения фигуру мы остались с элемента А и его коллега А ~ проективной серии оси.

Если мы проект с’ точка X, генерируется молнии и его коллега (Вершина луч) были сокращены в оси проективных (точка “3”). Луч коллега содержать элемент (X ') искать.

Граничных элементов

Как и в случае видно на точке X, можно получить так называемый “предельные точки” гомологи ненадлежащих точки серии (точки на бесконечности). На следующем рисунке показан аналог одного из них определяется, неприлично S-серии. Проектирование с точки серии ограничено, чтобы получить луч параллельно серии, которая проходит через вершины выступа. Пересечение этого луча с проективным оси (точка 4) позволяют получить коллегу луч луча перспективе и, следовательно, точку искал.