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Cónicas métricas: Circunferencia principal

Hemos definido la elipse como el “lugar geométrico de centros de circunferencias que, pasando por un foco, son tangentes a la circunferencia focal de centro el otro foco“.

Esta definición nos permite abordar el estudio de la cónica mediante la aplicación de los conceptos vistos al resolver los problemas de tangencias y, en particular, reduciéndolos al problema fundamental de tangencias.

Los puntos de una cónica son los centros de las circunferencias tangentes a la focal que pasan por el otro foco

Relacionaremos esta circunferencia con otra cuyo radio es la mitad del radio de la focal, y su centro es el de la cónica. Llamaremos a esta circunferencia “Circunferencia principal“.

“El centro de la cónica es el centro de una circunferencia de radio (a), valor del semieje mayor, denominada circunferencia principal

Esta circunferencia contiene a los vértices A1 y A2 de la cónica.

Relación con la circunferencia principal.

¿Podemos relacionar la circunferencia focal y la principal?. Estas relaciones nos permitirán desarrollar modelos geométricos basados en la definición de la cónica como lugar geométrico de centros de circunferencias tangentes a la circunferencia focal y aplicarlos a la circunferencia principal.

Recordaremos que dos circunferencias coplanarias se pueden relacionar mediante dos homotécias. Los centros de esta transformación (centros de homotecia) se determinan relacionando pares de elementos homólogos, como los centros (O-O’) de las circunferencias o puntos situados sobre radios paralelos (T-T’).

H es el centro de homotecia positivo que relaciona a las dos circunferencias

En el caso de la circunferencia principal de radio “a” y la circunferencia focal de radio “2a”, la razón de homotecia (o semejanza) será “2” o “1/2”, dependiendo de cual consideremos que es el sistema inicial y cual el transformado. En cualquier caso el centro de homotecia es el foco que no es centro de la focal que estemos considerando.

En la figura la circunferencia focal de centro “F1” y radio “2a” es homotética de la circunferencia principal de centro “O” y radio “a” con centro de homotecia “F2”.

Un punto como el SF2 de la circunferencia focal (Cf) tendrá como homotético otro de la circunferencia principal (SF2′) alineado con dicho punto (SF1) y el centro de la transformación situado sobre la circunferencia principal (Cp).

Data una recta tangente a la cónica en un punto “T”, sabemos que el simétrico del foco respecto de la tangente (SF2) debe encontrarse en la circunferencia focal. En la figura se deduce que el punto homotético (SF2′) estará sobre la principal a mitad de distancia que el anterior del centro (F2) de homotecia, por lo que la circunferencia principal contendrá a los “pies de las perpendiculares a las tangentes trazadas desde el foco”. Así, podemos enunciar que:

“La circunferencia principal es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas a las tangentes desde el foco”

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