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Inversión: Tabla de gimnasia mental para determinación de elementos con condiciones angulares

Ya hemos usado una “Tabla de Gimnasia Mental” al estudiar la inversión: un conjunto de ejercicios que sirven para estimular el razonamiento, desarrollar y mantener la mente ágil, automatizar procesos de cálculo y análisis etc.

Nos proponemos ahora plantear una serie similar de problemas pero encaminados a obtener soluciones a problemas básicos de geometría. En este caso plantearemos la búsqueda de circunferencias que pasen por un punto dado y cumplan condiciones angulares respecto de otras dos circunferencias.

La condición de “paso por un punto P” nos permitirá en todos los casos realizar una inversión de centro este punto para simplificar la naturaleza de la “solución del problema” ya que si invertimos el sistema con centro ese punto nuestra solución buscada se convertirá en la inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión: una recta.

En los casos en los que se den condiciones de isogonalidad (igual ángulo con dos circunferencias) la solución será doble en la inversión que relacione a las dos circunferencias dato y, en consecuencia, ortogonal a la de autoinversión (caso positivo). Este modelo de análisis conducirá a la búsqueda de circunferencias ortogonales de nuevo.

Si el punto de paso se encuentra en alguna de las circunferencias podremos cambiar las condiciones de angularidad respecto de la circunferencia por una tangencia respecto de una recta que pase por el punto y forme el ángulo solicitado con la circunferencia. En este caso también podremos buscar circunferencias pertenecientes a un haz parabólico.

Los siguientes problemas son de fácil resolución con las estrategias mencionadas. Podemos enunciar todos los problemas con un mismo enunciado general:

Determinar la circunferencia que forma un ángulo α con c1 , β con c2 y pasa por el punto P

Caso 1

Dos condiciones de tangencia y un punto de paso situado sobre una de las circunferencias.

Caso 2

Dos condiciones angulares iguales (isogonalidad) y un punto de paso situado sobre una de las circunferencias.

Caso 3

Dos condiciones angulares iguales (isogonalidad), en particular de ortogonalidad (pertenencia al haz conjugado) y un punto de paso situado sobre una de las circunferencias.

Caso 4

Dos condiciones angulares diferentes, en particular tangencia y 30 grados y un punto de paso situado sobre una de las circunferencias (haz parabólico o tangente a recta).

Caso 5

Dos condiciones de tangencia (Isogonalidad) y un punto de paso situado sobre una de las circunferencias.

Caso 6

Dos condiciones de tangencia (Isogonalidad) y un punto de paso libre (Se puede invertir el sistema desde el centro de semejanza entre las circunferencias o desde P)

 

 

A continuación puedes ver un fichero PDF con la propuesta de ejercicios anterior.

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Continuaremos con nuevas “tablas de gimnasia mental para geometría” en próximas entradas.

Geometría métrica

 

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