La géométrie projective: Triplets d'éléments

Triplets d'éléments

La géométrie de mesure est basé sur le connu Théorème de Pythagore. Tous les théorèmes se déduisent de la notion de mesure qui découle du droit triangles.

Analogue, géométrie projective est basé sur un autre théorème important, le Théorème de Thalès, établit plutôt un concept notion métrique des mesures de relation, projective invariant.

Concept de triplets d'éléments

Trois éléments d'un moyen de première classe déterminent une interne.

Dans le cas de l'utilisation des points des éléments, alors nous disons que les trois points déterminent un point ordonné triple.

Les éléments peuvent être des taches droites ou plat, même hiperelementos pourraient générer des triplets de géométries complexes.

Pour représenter symboliquement utiliser la notation suivante:

• points de triplet: (ABC)
• Terna droite: (abc)
• Terna prévoit: (abc)

Le trio a une valeur numérique ou caractéristique gestion associée impliquant les termes qui forment.

• (ABC) = AB/AC = λ. [Ec. 1]
• (abc) Sa =(à partir de)/sa(ac) = L. [Ec. 2]
• (abc) Sa =(ab)/sa(ac) = L. [Ec. 3]

Triplets de points de

Nous définissons la valeur d'un trois points a ordonné triple comme le rapport entre deux longueurs, le segment formé par le premier et le deuxième point du triplet et le segment formé par les premier et troisième points:

Ec. 1

Les segments peuvent être signées. La direction du segment AB est contraire à la BA, ou ce qui est la même, AB = – BA

Conceptuellement, on peut comprendre une ardoise autant que le segment de l'unité de l'autre.

Par exemple, Si B est le milieu de AC, le triplet (ABC) = 1/2. Segment AC agit comme une unité de mesure.

Triplets de lignes

Il définit la valeur de la triple commandé trois fois de suite comme le rapport entre les deux seins, l'angle formé par les deux premières lignes et détermine la première et la troisième droite:[Ec. 2]

Ec.-2

Trois poutre droite vértice V, et les trois points d'une série de section de faisceau par une ligne droite peut être associée à des valeurs de ses triplets.
Cette valeur est la caractéristique du triplet est fondamental pour les projections de rang, de sorte qu'il est invariant ceux profiter des propriétés communes type à projection indépendante.

Figure 2.- Relation entre triplets de points et de lignes

En projetant orthogonalement les points B et C Rerie la droite rectiligne sur la Fig.1, on obtient les points B 'et C'. Triangles ABB ' et ACC 'sont semblables por lo que, relations en appliquant le théorème de Thalès:

(abc) Sa =(à partir de)/sa(ac) = L [Ec. 2]

La valeur du sinus de l'angle formé par les lignes a et b, ainsi que celui formé par les lignes A et C seront:

Angles entre les équations linéaires

Si ces dernières valeurs sont remplacées dans le [Ec. 2] nous:

équation 6. Relation entre triplets de points et de lignes

Donc, général, (ABC) ≠ (abc), la valeur à partir d'une liste de lignes est différente de la liste de points que la coupe.

Si sectionné poutre droite par deux lignes non parallèles, certaines séries sont avant ensemble, même si aucun triades points ont la même caractéristique.

Un exemple est la projection conique d'un point V.

Fig-3 perspectivité entre les séries

Pour être à la hauteur des deux triades est nécessaire que le rapport VC / VB est égal à l'unité. Ce résultat est obtenu lorsque le sommet est un point incorrect, ou quand les lignes sont parallèles sectionné.
Cela permet à des propriétés intéressantes dans le projections de la nature cylindrique (mauvaise sommet) et projections et, ou, sections droites ou appartement par.

Lorsque l'apex V poutre rectiligne est situé à l'infini, le terme VC / VB le [Ec. 6] tend à l'unité, de sorte que la liste de points est égale à la triple de lignes.

Fig-4 Conservation simple et bonne raison pour les sections droites parallèles Dans la section trois lignes d'un faisceau mauvaise sommet (lignes parallèles à, b et c sur la figure ), différents triplets de points, on obtient section ont donc la même valeur ou caractéristique. Ce cas correspond à des projections appelées projections cylindriques, dans lequel est prévu dans une direction orthogonale ou oblique par rapport au plan de projection, ou plan du dessin,.

Fig.- 5 Conservation simple et bonne raison pour les sections droites parallèles Dans la section trois lignes d'un faisceau vertex propre (lignes parallèles à, b et c sur la figure ), différents triplets de points, on obtient section ont donc la même valeur. Ce cas correspond aux projections coniques sur des plans ou des lignes qui sont parallèles et les homotecias.

Conservation simple raison projections cylindriques:

Le modèle projectif peut être très utile dans l'étude des systèmes de représentation. Les différentes représentations des éléments sur un plan de projection en saillie.

Ce procédé implique l'utilisation d' deux opérations projectif:

• Nous prévoyons Point
• Sectioned le faisceau résultant dans le plan de projection.

Nous utilisons le terme projective par exemple pour définir le concept de la projection d'un élément.

• Projection d'un point par rapport à une autre est de définir la ligne appartient aux deux éléments (rectiligne de la série)
• Projeter une ligne d'un point à définir le plan qui appartient à la fois des éléments (Aplanissez)
• Projection d'un avion d'un point à définir l'ensemble des lignes / des avions qui appartiennent au point et les points / avion des lignes (Radiation de droite / appartement)

En projetant les éléments, le centre de projection peut être:

• Propre
• Une mauvaise

Dans le cas d'une projection de centre incorrecte (ou encore appelée projection cylindrique), préserve la simple raison de projeter des rayons triple.

(AVEC) = (A'M'B ')

Fig.- 7 Projection du point médian d'une saillie cylindrique de segment.

La projection du point central, donc, correspond au point médian de la saillie.

Ce résultat est utile dans de nombreux problèmes en ce que la relation entre les parties, géométrie, est connu.

Par exemple l'obtention de la projection du barycentre d'un triangle peut être limitée afin de localiser le centre de gravité du triangle projeté.

Sistemas_de_representacion

La géométrie projective