La géométrie projective: Détermination des éléments homologues en série projective

L'un des premiers problèmes que nous devons apprendre à travailler en géométrie projective est la détermination d'éléments homologues, les deux faisceaux et série et toute disposition de bases, ou distinct superposé.

Pour commencer l'étude utilisera la méthodologie à utiliser comme éléments à base de modèles habituels “des points”, étant donné qu'il est plus facile à interpréter, en supposant en outre que la base de la série correspondante sont séparées concernent.

C'est pourquoi nous allons examiner la détermination des éléments homologues dans deux séries projective qui ont des éléments communs. L'énoncé du problème, généralement, peut être:

Compte tenu deux séries projective définie par trois paires d'éléments (des points) homologues, déterminer la contrepartie d'un point donné.

Le point de données peut appartenir à n'importe quelle série et nous sommes donc appartiennent à la base de l'autre.

Nous allons résoudre ce problème en utilisant perspectividades intermédiaires à établir entre les deux séries projective, en obtenant ainsi l' projective axe des deux séries (droite et). Comme nous l'avons vu, projective axe de la série est l'axe en perspective des faisceaux on obtient en projetant les points d'une série de n'importe quel autre élément de la, et projeter simultanément leurs homologues de l'élément homologue sommet géométrique utilisé comme la première projection.

Axe projective de deux séries (Faisceaux de l'axe de perspective)

Nous allons déterminer en tout cas, donc, le axe projectifs de la série.

Obtenir l'axe projective de deux séries:

Les différents cas qui peuvent se produire seront déterminés par les données définissant série projective, peut être, en principe,:

Paires de points homologues ordinaires (3 maximum)
Points de points de inappropriées ou homologue limites ( à deux possible)
Des homologues des points de la base d'intersection ( 2 maximum)
Direction de l'axe projective

Nous pouvons combiner ces données pour déterminer un problème spécifique, chaque fois que nous apporter le nombre nécessaire de les. Le problème sera déterminée quand on sait trois paires d'éléments homologues ou des données équivalentes. Par conséquent résoudre ce premier cas:

Étant donné trois points de la série et leurs homologues, déterminer l'axe projective de ladite série

Les données sont les points A, B et C et les points de liaison correspondant leur A ', B’ y C '. Le point de la base M d'intersection = N’ contenir un point de chacune des séries.

Pour déterminer l'axe de projectifs ont besoin d'un certain nombre de points dans le même. Ceux-ci peuvent être déterminées comme l'intersection de deux faisceaux de rayons homologue de perspective deux sommets d'une paire de points homologues.

Point d' “1” peut être considéré comme un point d'intersection de deux faisceaux de rayons homologues obtenu en projetant à partir de A et A’ les points B et B ', mais nous pouvons aussi comprendre que les sommets des poutres sont B et B’ et les points projetés A et A '.

L'axe a été déterminée par le point précédent et le point “2” qui est obtenue de façon similaire à la précédente, de relier les points B et C avec leurs homologues B’ y C '.

Des homologues de l'intersection des bases sont les points de l'axe de projection à chacune des bases d'intersection. Ces éléments peuvent être obtenus comme n'importe quel point inconnu X.

L'obtention d'éléments similaires

Utilisation de l'axe projective est facile de déterminer la contre-partie de n'importe quel point; exemple, nous obtenons la contrepartie d'un point X.

Pour simplifier la figure, nous nous retrouvons avec un élément A et la série de l'axe projective homologue A'y.

Si nous projetons de A’ point X, foudre généré et son homologue (Un faisceau de sommet) ont été coupés dans l'axe de projectifs (Point “3”). La contrepartie de ray contient l'élément (X ') Recherches.

Éléments de frontière

Comme dans le cas vu depuis le point X, nous pouvons obtenir la soi-disant “les points de fin de course” homologues sont des points de la série irrégulières (points à l'infini). La figure suivante montre la contrepartie de l'un d'eux est déterminé, mauvaise pour la série S. Faisant saillie à partir du point de la série est limitée à obtenir le rayon parallèle à la série qui passe à travers la saillie de vertex. L'intersection de ce rayon avec l'axe projective (Point 4) vous permettent d'obtenir la contrepartie perspective du faisceau de rayonnement et par conséquent le point recherché.