Geometria metrica : Investimento : Applicazione alla risoluzione dei problemi e tangenti angolari

Gli investimento è una trasformazione che permette di risolvere problemi con condizioni angolari.

Può essere applicato direttamente o usato per ridurre altri trattati di natura semplice problemi noti.

I diversi approcci che possono affrontare un problema saranno studiati attraverso lo sviluppo di un problema classico e semplice delle tangenti.

La generalizzazione delle idee discusse ad altre forme di affermazione, in problemi simili della stessa natura, Sarà un esercizio che permetterà al lettore di sistematizzare i modelli di risoluzione.

Dichiarazione del problema da studiare

Si consideri il seguente problema:

Determina i cerchi tangenti a un cerchio ea una linea in uno dei suoi punti.

Dichiarazione del problema di tangenza con una condizione di punto di passaggio

Il problema potrebbe essere un caso particolare di angolarità, in particolare dell'isogonalità (piatte,), rispetto a due circonferenze e una condizione di gradino. Tre aspetti semplificano questo caso senza sottrarre generalità:

• L'angolo può essere considerato nullo (condizione di tangenza).
• Uno dei cerchi è una linea (raggio infinito)
• Il waypoint è su uno degli elementi (Punto di tangenza T)

Queste singolarità di solito semplificano il layout (numero di righe richieste per la risoluzione) sebbene i concetti utilizzati siano gli stessi. L'utilità in un problema didattico è proprio quella semplificazione poiché permette di focalizzare i concetti con meno difficoltà.

Questo problema potrebbe essere definito in modo generale come:

Determina il cerchio che forma gli angoli alfa e beta con due cerchi dati e passa per un punto P.

Risolveremo il primo caso come modello di analisi, facendo i commenti necessari in seguito in modo che il lettore possa affrontare il caso generico e, en consecuencia, tutta la diversità dei casi derivati.

Concentrati prima: Semplificazione della soluzione ricercata

Affronteremo prima il problema utilizzando l'approccio meno concettuale e più dispendioso in termini di tempo dal punto di vista dei layout grafici necessari.. Questo modello sarà applicabile fintanto che è disponibile un punto di passaggio come condizione o vincolo geometrico per il problema., non consentire la generalizzazione per il caso di tre cerchi. Si tratta quindi di un approccio incompleto, sebbene sia ampiamente applicabile a molti problemi..

Applicheremo l'investimento al set di dati, risolveremo il problema con i dati trasformati e annullando la trasformazione ( la soluzione ottenuta nell'insieme invertito) determineremo la soluzione cercata.

In questo modello di soluzione usaremos el punto de paso como centro de inversión. Al hacer esto y transformar los datos la solución que buscamos se convertirá en un elemento geométrico más sencillo (una linea), simplificando en gran parte el problema.

La idea principal es por tanto simplificar la solución a buscar

El valor de la potencia puede ser cualquiera, incluidos los que transformen algún elemento en él mismo con objeto de simplificar trazados. En un primer nivel de análisis evitaremos estos valores particulares de la potencia de inversión para diferenciar claramente el conjunto original y el transformado.

Inversión de centro el punto de paso T

Los punto P e Q de corte con la circunferencia de autoinversión elegida son dobles. La circunferencia transformada será tangente a las tangentes T1 e t2 dal centro di inversione alla circonferenza, come abbiamo visto studiando il investimenti nel piano.

Prendendo come potere di investimento il potere del punto T sulla circonferenza c, questa diventa una doppia circonferenza (ortogonale all'autoinvestimento).

Dritto r è inverso di se stesso, mentre passa attraverso il centro investimenti.

Mentre la circonferenza cercata passa attraverso il punto T che abbiamo preso come centro di investimento, la sua trasformazione sarà una linea che non passa per quel punto, e quello soddisferà le rispettive condizioni angolari (tangencia) rispetto agli inversi della circonferenza c e il dritto r ( sarà tangente a c’ y a r’ ).

La condizione di tangenza tra due rette si traduce in una condizione di parallelismo tra di loro.

Nella figura sono state ottenute le trasformate delle soluzioni, come descritto.

Soluzioni trasformate

Le linee s'1 e s'2 diventeranno le soluzioni al problema quando si annulla la trasformazione. I punti di tangenza di queste linee diventeranno quelli di tangenza di queste soluzioni.

Soluzioni al problema quando si annulla l'investimento

Se invece di avere condizioni di tangenza avessimo condizioni angolari, le rette tangenti s'1 e s'2 sarebbero alle circonferenze goniometriche che determiniamo studiando i problemi di linee con condizioni angolari.

Secondo obiettivo: Investimento di un dato in un altro

Questo approccio è il più generalista, permettendo di ridurre i problemi più complessi di problema fondamentale delle tangenze per il caso dritto gli circonferenza, oppure ottenere relazioni tra gli elementi che lo semplificano.

Podemos utilizar dos centros de inversión que relacionan a la recta r y la circunferencia c ( o a dos circunferencias). Un centro positivo I+, y otro que tendrá potencia negativa, I-. En este caso de análisis deben encontrase sobre la circunferencia c.

El punto de tangencia T se transformará en T’ mediante la inversión de potencia positiva y en T” con la inversión de potencia negativa, dando lugar cada uno de ellos a una de las soluciones buscada.

Investimento di un dato in un altro

En estas condiciones cualquier elemento tangente a la circunferencia c se convertirá en uno tangente a su transformada, la recta r=c’. Las soluciones serán por tanto circunferencias dobles, inversas de sí mismas, que pasarán por los puntos T e T’ y serán ortogonales a la de autoinversión (no representada)

Solución mediante la inversión de un dato en otro

Las soluciones se determinarán al encontrarse sus centros en la perpendicular a la recta por el punto de tangencia, en la mediatriz de TT’ o alineados con el centro de la circunferencia dato y su punto de tangencia.

En otro artículo generalizaremos el caso de angularidad genérica; veremos que la condición de ortogonalidad a la circunferencia de autoinversión permite reducir a haces de circunferencias las familias de soluciones.

Este enfoque de la inversión de un dato en otro será la base para la sustitución de condiciones angulares por condiciones de ortogonalidad.

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