Geometria metrica : Investimenti nel piano

L'investimento è un trasformazione homográfica mantenendo le relazioni angolari (risolvere).

La sua applicazione principale è la determinazione di problemi di geometria comprese le condizioni angolari stanno risolvendo gli esercizi con tangenze.

Si basa sui concetti di potere; è un trasformazione involutiva elementi che possono essere double nel caso di potenza positiva.

Trasforma definizione

L'investimento è un centro di trasformazione. Ciò significa che punto trasformato e sono allineati con il centro di inversione, analogamente alla trasformazione noto come homotecia.

La relazione tra le posizioni relative di ciascun punto e il centro di investimento trasformato confrontato basa sul concetto potere.

Dato un centro “I“, e una coppia di punti inversi “P” e “P’“, gli prodotto delle distanze questi punti il centro di investimento è costante e si chiama Potenza inversione.

IP * IP’ = IQ * IQ’ = K * K =

Se la potenza di investimento è positivo, puntare e si trasformano sullo stesso lato del centro di inversione. I punti che si trovano a breve distanza K dal centro sono doppie. La circonferenza del raggio di fondo del potere, valor K, è punti doppie e matrimoniali, denominare circonferenza autoinversión.

Due punti e loro inverse sono concíclicos

Se la potenza è negativo il centro di inversione si trova tra ciascun punto e la sua trasformata. La circonferenza è auto-inversione stunt, ma senza punti.

Inversione di elementi

Punti di studio per gli investimenti insieme a quattro possibili casi di trasformazione, due per la linea e due per la circonferenza, in cui il centro di inversione può essere in qualsiasi posizione sull'elemento geometrico o situato su di esso.

• Linee contenenti il ​​centro di inversione
• Le righe che non contengono il centro di inversione
• Cerchi contenenti il ​​centro di inversione
• Cerchi che contengono il centro di investimento

Inversione Point

Punti di investimento possono essere risolti Costruzioni di potenza o chiamati teoremi di gamba e altezza.

Investimenti potere positivo

In questo caso uno dei punti all'interno della circonferenza è auto-invertente e l'altro esterno ( o doppie e sono su di lei), ma allo stesso lato rispetto I. Possiamo applicare Catetere Teorema con sé circonferenza di inversione, come si vede nella figura.

Investimento positivo

Gli Concetti di alimentazione ci permettono di garantire che due punti e loro inverse sono concíclicos (sono sulla stessa circonferenza che è il doppio della partecipazione e tagliare ortogonalmente alla stessa).

Inversione di potenza negativo

Una inversione negativa può essere ottenuto mediante una potenza pari positivo (modulo) maggiore simmetria centrale. Applicazione Altezza teorema determinare coppie di punti inversi.

Inversione negativa

I punti diametrali sulla circonferenza sono inversamente auto-inversione.

Linee centrali Investment contenenti investimento

Questo caso è più semplice in quanto, dalla definizione della trasformazione, l'inverso di ciascun punto è allineato con il punto e il centro di inversione e quindi l'inverso della linea, se contiene il centro di investimento, è la linea stessa.

Investimento di una linea

Linee di inversione che non contengono il centro di inversione

Cerchi di investimento contenenti il ​​centro di inversione

Questi due casi possono essere studiati insieme perché la trasformazione è involutiva e, come discusso, la Invesa di una riga che contiene il centro di inversione è un cerchio che la contiene e viceversa.

Come due punti e loro inverse sono concíclicos le linee che uniscono due punti e loro inverse sono link antiparallelo delle linee di collegamento ogni punto supporti e la sua inversa (2-2 lo stesso angolo). Nella figura formano la linea PQ un angolo alfa con la QQ diritta’ che è identico al P'Q retta’ PP '.

Antiparallelismo

Investendo circonferenza che passa per il centro di inversione e un punto P, il suo inverso passerà il P trasformato '. Se investiamo un altro punto Q Q’ vediamo che l'angolo Q mostrato in figura dovrebbe essere diritto di essere inscritto in un semicerchio. Di conseguenza, il segmento P'Q’ devono formare un angolo retto con la linea PP’ ed è necessario per essere in linea c '. Ripetendo questa operazione per gli infiniti punti del cerchio metterò subito c’

Dritto circonferenza di inversione

Così:

L'inverso di circonferenza che passa per il centro di inversione è una linea che non passa, direzione perpendicolare al diametro che contiene il centro di inversione.

Poiché la trasformazione è involutiva:

L'inverso di una linea non passa per il centro di inversione è un cerchio centrato sulla perpendicolare dal centro di detto investimento linea.

Cerchi di investimento che non contengono il centro di inversione

Studiando l' trasformazione da homotecia hanno visto che due cerchi complanari possono essere collegati da due diversi centri. Nella figura mostra il centro I stabilire un rapporto di dilatazione postive in cui T e T’ sono omologhe, come P e Q’ o bien Q e P’. Il motivo è quindi omotetica:

IT / IT’ = IP / IQ’ = IQ / IP’ = Kh

D'altronde, presa di corrente I sulla circonferenza c questo è:

W = IP * IQ

Dividendo il rapporto di potenza dal omotetica:

Gli / Kh = IQ * IQ’ = Cte

Vediamo che i due cerchi sono centro inversa I e potere Gli / Kh

Reverse di un cerchio

Pertanto:

L'inverso di un cerchio che non passa attraverso il centro di inversione è un altro cerchio, essere il centro di centro di inversione che si riferisce homotecia.

Quando il centro di dilatazione è fuori dai circoli del potere valore è positivo, in modo che l'inversione segno della potenza corrispondente al centri homotecia. Tuttavia, se il centro di dilatazione è interno ai circoli, il segno si inverte.

Quando il centro omotetica si trova sulla circonferenza, essere il potere di zero, non può essere considerato investimento.

Si noti che sebbene i centri dei cerchi sono omologhi, non sono inverse.

Reverse Gli’ centro Gli una circonferenza c che non passa attraverso il centro di inversione è la passeggiata dal centro di inversione polare per la circonferenza inversa c’.

Conformità della trasformazione

A trasformazione è soddisfacente se l'angolo di due elementi è la stessa come gli elementi che formano il trasformate. L'investimento è una trasformazione conforme quindi è molto utile per risolvere i problemi con condizioni angolari.

Il antiparallelismo tra le linee che uniscono due punti e loro inverse, per cui unirsi ciascuno con il suo inverso è la base della manifestazione.

Le linee di collegamento quattro punti di un cerchio, il suono del antiparallelo

C Assumendo una curva per due punti P e Q. Segmento PQ è una corda della curva. Di confine, quando abbiniamo i punti P e Q, corda diventa tangente alla curva in quel:

L'angolo tra la tangente a una curva in un punto P con la riga contenente il punto e la sua inversa, è la stessa di quella che forma la tangente inversa della curva.

Una curva e la sua inversa formano lo stesso angolo con la congiungente ogni coppia di punti inversi

Si applicano alle curve, memorizzati rispettivamente le tangenti angolo concludiamo che:

L'angolo tra due curve è uguale a quello formato dalla sua curva di inversione, affinché investimento è una conforme.

Compliance della partecipazione

L'applicazione alla soluzione dei problemi può essere fatto in due modi concettualmente diversi:

• Semplificare i dati problema.
• Semplificare la soluzione ricercata.

Vedremo una nuova voce discussione approfondita su questi due modelli di analisi, aplicándolos un problema angularidad.

Geometria metrica

Collegamenti esterni

• Investimenti nel piano (Gli)
• Investimenti immobiliari (applet gaussiana interattiva)