Al estudiar los conceptos de Coniugato le direzioni vimos una definición para el centro de la cónica basada en los conceptos de polaridad básicos:
El centro de la cónica es el polo de la recta impropia.
Per il centro del cono sarà necessario disporre di pali e polare loro rispetto. In particolare le costruzioni vengono semplificate se sappiamo tangenti e punti di contatto. Vedremo che è particolarmente immediatamente se sono note tre tangenti ei loro rispettivi punti di contatto, ottenuto dalla definizione della conica da 5 dati e applicazione delle tecniche descritte determinare le tangenti e punti di tangenza:
- Applicazione di serie del secondo ordine di sovrapposizione
- Applicazione di travi sovrapposte di secondo ordine
Consideraremos por lo tanto que se dispone de tres tangentes y sus respectivos puntos de contacto, determinados a partir de los procedimientos anteriores.
Polarità
Si consideramos la involución entre series superpuestas de segundo orden con pares homólogos A-A’ e B-B’, punto E è Centro di involuzione e il dritto e gli asse di involuzione. Dritto “e” è polar del punto “E” per quanto riguarda le linee rette “r” e “s”.
Punti “T1” e “T2” son dobles en esta involución y por ello, las rectas tangentes a la cónica en ellos pasarán por el centro “E” de la involución. Pertanto:
Il polar “e” ad un punto “E” pasa por los puntos de tangencia “T1” e “T2” de las tangentes a la cónica desde “E“, ya que es el eje de la involución de centro E.
En esta figura podemos ver que la polar del punto “E1” es la recta “e1“. Bastaría suponer que E1 es el centro de una involución que transforma el punto A su B y el punto A‘ su B', affinché es armónica la cuaterna (E1 E2 T1 T2)
A partir de esta cuaterna armónica podemos concluir propiedades interesantes para determinar el centro de la cónica. Si E1 es un punto impropio el punto E2 deberá de ser el punto medio entre T1 e T2 . En consecuencia la recta E-E2, polar de E1, deberá contener al centro de la cónica
En el caso en que el punto “E” sea impropio (all'infinito), las tangentes desde este punto serán paralelas y la recta “e” se convertirá en un diámetro de la cónica pasando por el centro de la misma.
Lugar geométrico del centro de la cónica
La obtención del centro se realizará mediante la intersección de dos lugares geométricos obtenidos a partir del mismo principio. Analizaremos este lugar geométrico para el que necesitamos dos tangentes y sus puntos de tangencia.
Para determinar el lugar geométrico buscado buscaremos el punto medio entre dos puntos de tangencia, ya que esta recta es la polar del punto I de intersección de las tangentes en dichos puntos. Como hemos visto, la recta que pasa por este punto medio y el de intersección de las tangentes contiene al centro de la cónica.
El centro se obtendrá como intersección de dos lugares geométricos, repitiendo el proceso anterior para otra pareja de puntos de tangencia.
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