Involuzioni in serie di secondo ordine sono di particolare interesse per la determinazione degli elementi di una conica.
Abbiamo visto come determinare l'asse di un'involuzione e, basato sul concetto di Polare di un punto rispetto a due linee, possibili involuzioni che possono essere impostate da quattro punti, con i rispettivi assi di involuzione, ottenendo il autopolar triangolo Socio in cui troviamo le relazioni armoniose della cuadrivertice completo.
In questo articolo noi continueremo a migliorare questi elementi, in particolare nei vertici del triangolo autopolar che determinano ciò che sono noto come “Centro di involuzione”.
Ricorderemo che due fasci proiettivo dritto hanno un Centro proiettiva Esso li lega. Possiamo determinare questo punto tramite l'intersezione di due loci (si passerà attraverso due prospettive serie punti risultato da travi di sezione di elementi omologhi).
Se consideriamo i punti di intersezione delle coppie di fulmine associato (a e b’ e ’-b) Otterremo il suddetto loci
Centro proiettiva di due fasci proiettivi
Se proiettiamo da due punti di una conica due serie sovrapposte che sono proiettive, i fasci risultanti sono proiettivi e assoceranno un centro proiettivo.
Nella figura abbiamo abbiamo proiettato da V1 e V2 punti A,B,X …. e ’,B ’,X’ Sei in involuzione. Le coppie di fulmine associato a-x’ e ’-x determinerà un locus che è proiettivo albero di questi fasci. Questo locus è la linea un.’ che unisce i due punti omologhi. Ripetere questa operazione con un altro paio di punti in involuzione, che vediamo che il D3 sarà cercato il proiettivo e ogni coppia di punti omologhi nella regressione sarà su una linea che passa per questo punto, Ti chiamo “Centro di involuzione”.
Se ottenete nuovi punti in una qualsiasi delle involuzioni di assi e12, e23 studiati ed e31, Vediamo che le coppie di punti omologhi saranno allineate con i vertici del triangolo autopolar, D1, D2 e D3. In ogni involuzione coppie di punti omologhi sarà su righe contenenti il suo asse di involuzione.
Questo punto ci permetterà di ottenere l'equivalente di un punto sulla regressione con percorsi meno laboriosi. Ad esempio possiamo usare il centro e l'asse dell'involuzione nello stesso problema, evidenziando come operare con loro, per determinare la controparte di un punto X.
È l'involuzione dei punti di un.’ e b-b’ che mira a determinare l'omologo del punto X.
Dovremo determinare questo punto usando l'intersezione di due loci in cui deve essere.
- Nella linea che è formata da X sporgenti dal centro di involuzione
- Del raggio omologa che arriva al progetto da un punto della conica. Prospettiva di fascio con vertice nel punto omologo della proiezione sarà assi assi prospettiva di involuzione.
Anche se si salva una sola linea rispetto all'uso dell'asse di involuzione, concetti applicati molto utile in problemi più complessi, come vedremo più avanti ci sarà.
Esempio: involuzione dei punti
Dato l'involuzione è punti a-a. ’, B-B’ su di una circonferenza, determinare la controparte del punto X
Abbiamo determinato il centro dell'involuzione, si trovano all'incrocio di due loci: le linee rette che contengono ogni coppia di punti omologhi.
Controparte del punto X sarà la circonferenza e la riga che contiene la X e il centro di involuzione
Esempio: Involuzione di linee rette.
Dato l'involuzione della retta a-a. ’, b-b ', determinare la rette controparti in involuzione che sono perpendicolari.
Questo esercizio vi sarà utile per ottenere successivamente un alberi conici da due coppie di diametri coniugati.
Abbiamo sezionato da un cerchio che passa attraverso l'apice della trave in involuzione, per determinare le due serie di secondo ordine in involuzione.
Possiamo determinare gli elementi dell'involuzione, come il centro o asse come abbiamo visto nello studiare queste trasformazioni. In questo caso si desidera determinare il centro e l'involuzione.
Ricorderemo che il concetto di ortogonalità delle linee rette è associato il di arco in grado 90 °, un semicerchio.
Se prendiamo un punto qualsiasi in un semicerchio, punto V, le linee rette determinato da questo punto e finisce x-x’ loro diametro sono ortogonali.
VX e VX’ controparti in un investimento sarà se il dritto linea x-x’ Esso contiene il centro e l'involuzione.
Di conseguenza X e X’ devono essere di diametro del cerchio contenente il centro dell'involuzione.
Pertanto, Determineremo la soluzione per ottenere questo diametro, semplicemente dal centro della circonferenza e il punto E. Le soluzioni saranno le linee rette x e x’
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