Geometria métrica : Determinando circunferências de rádio conhecidas condições angulares

Identificar os problemas conhecidos com circunferências de raio que atendam as restrições geométricas são exercícios natureza semelhante ao observado para as linhas.

Estes problemas são resolvidos pela intersecção loci.

Particularmente, se considerarmos o círculo de raio em linha reta como infinito, Vamos, portanto, no caso estudado direto com as condições de determinação angulares.

Condição angular em relação a rectas

Começamos a análise com as condições de tangência (ângulo de zero) para determinar o locus de centros de circunferências de raio conhecido que é tangente a uma recta r. Posteriormente generalizar estes loci para qualquer ângulo de incidência.

Para determinar una circunferencia necesitaremos tres restricciones geométricas. En el problema propuesto tendremos como datos el radio de la circunferencia y la condición de tangencia, quedando un grado de libertad para definir dicha circunferencia.

Tendremos por tanto infinitas soluciones y, conformemente, un lugar geométrico para sus centros.

Supongamos que buscamos la que pasa por un punto T de tangencia concreto en la recta r. El centro O se encontrará en la perpendicular a r através do ponto T, a distancia R (radio de la circunferencia). Si desplazamos el punto T a lo largo de r encontraremos los infinitos centros de las soluciones y, conformemente, el lugar geométrico de sus centros LG es una recta paralela a la anterior a distancia R.

Lugar geométrico centros de circunferencias tangentes a recta

Na verdade, temos dois possíveis loci, uma vez que a distância R tomámos a partir do ponto de tangência T pode ser em ambas as direcções perpendiculares à direcção.

Centros de conhecidos círculos de raio tangente a uma reta

Se ao invés de considerar uma restrição tangente usamos uma condição angular, o problema não é muito diferente.

Determinar uma solução (que passa através de um ponto P) e generalizar o locus. Por esta, ponto P olhar diretamente t formando com a reta r a condição angular. Esta reta t é a tangente ao círculo no ponto P e seu centro será sobre ela e a distância perpendicular R.

De nuevo nos encontramos con dos posibles rectas como lugares geométricos para los posibles centros de las soluciones.

Centros de circunferencias incidentes según un ángulo dado con una recta

Condición angular respecto de circunferencias

Si la condición angular es respecto de una circunferencia, el procedimiento para la determinación del lugar geométrico de los centros es similar. Buscaremos una solución que pase por un punto de la circunferencia y determinaremos el lugar geométrico.

Si la condición es de tangencia, num ponto T cualquiera determinaremos la tangente t y el centro se encontrará a distancia R según la dirección perpendicular a dicha tangente. Vemos que en este caso los lugares geométricos son dos circunferencias concéntricas con que nos han dado como dato, c, con radios la suma o diferencia de radios del de c y el valor R.

Centros de circunferencias de radio dado tangentes a una circunferencia

Si la condición es un ángulo cualquiera deberemos determinar la tangente a c en un punto cualquiera P y obtener una recta que pase por dicho punto y forme el ángulo dado. Esta recta será la tangente a la solución que buscamos y su centro se encontrará en la perpendicular a distancia R.

Circunferencia de radio dado que forma un ángulo con otra circunferencia

En la figura anterior sólo se ha determinado uno de los dos lugares geométricos. El otro lo obtendríamos trazando una recta con la condición angular en el otro sentido.

Notese que la condición de paso por un punto es lo mismo que considerar que la circunferencia dato tiene un radio nulo, de forma análoga a pensar que una condición respecto de una recta es suponer que el radio es de longitud infinita.

Aplicación a la resolución de problemas

Podemos resolver diferentes problemas en los que se conoce el radio de la circunferencia buscada mediante la intersección de los lugares geométricos que hemos visto. Necesitaremos imponer dos condiciones geométricas adicionales para completar el problema:

• Que pasan por dos puntos
• Que pasan por un punto y son tangentes a una recta
• Que pasan por un punto y son tangentes a una circunferencia
• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una recta
• Que pasan por un punto y forman un ángulo con una circunferencia
• Que son tangentes a dos rectas
• Que son tangentes a dos circunferencias
• Que son tangentes a una recta y una circunferencia
• Que forman un ángulo con una recta y son tangentes a otra recta
• Que forman un ángulo con una circunferencia y son tangentes a otra em linha reta
• Que forman un ángulo con una recta y otro con otra recta
• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra recta
• Que forman un ángulo con una circunferencia y otro con otra circunferencia

Intersección de lugares geométricos

Veamos por último un ejemplo de aplicación de los enunciados en los que apliquemos la intersección de estos lugares geométricos en su resolución.

Considere o seguinte problema:

Determinar las circunferencias de radio conocido que son tangentes a una recta y a una circunferencia

Loci. Enunciado del problema

Con la condición de tangencia y el radio dado obtendríamos los lugares geométricos correspondientes.

Obtenemos lo lugares geométricos

Determinamos los puntos de intersección de dichos lugares geométricos que serán los centros de las circunferencias buscadas

Soluciones mediante la intersección de los lugares geométricos

Vemos que el número de soluciones depende del número de puntos de intersección, consecuencia de las posiciones relativas de los datos.

Geometria métrica