Geometria métrica : Homotecia

Transformações - homotecia

O homotecia é um transformação homográfica que mantém as relações entre cada par de segmentos de medição ou homólogo homotética.

Preserva o paralelismo entre uma linha e sua transformada, assim determina e mantém números semelhantes relações angulares (está de acordo).

Sua principal aplicação é a determinação de problemas de geometria com as relações nas áreas figuras semelhantes; Também é útil para a resolução de alguns exercícios tangências.

Duas figuras semelhantes têm a mesma forma e área diferente

Homotecia

Ele baseia-se nos conceitos de similaridade vimos no teorema de Thales; a transformação não é involutiva e não pode ter elementos duplos, excepto no centro. Pertence ao grupo dos transformações afins.

Transforme definição

A dilatação é um centro de processamento. Isto significa que o ponto de transformados e que estão alinhadas com o centro de dilatação ou semelhança, análoga à transformação conhecida como o investimento, mais tarde.

A relação entre as posições relativas de cada ponto e a sua relação transformada centro homotética baseia-se no conceito da similaridade.

Dado um centro “H“, e um par de pontos homólogos “P” e “P’“, o proporção das distâncias estes pontos centro homothetic é constante e é chamado razão de homotecia.

HP / HP’ = HQ / HQ’ = HT / HT’ = K

Círculos homotéticos

Centros de homotecia entre os circunferências

Relacionar esta transformação por dois círculos é de particular interesse para aplicações em problemas de tangentes, e para posterior processamento em outro estudo: investimento.

Se assumirmos que dois círculos são homothetic, Os pontos sobre os raios paralelos deve ser homóloga. Dependendo da direção das transformações raio tem razão positiva (as duas rádios na mesma direção) o negativo (sentido diferente). Centros positivos, H, e negativa, H-, deve situar-se nas rectas que unem cada par de pontos homólogos (A-A’) e a linha que une os centros das circunferências, uma vez que também são homotética.

Centros de homotecia se de circunferências 1

Podemos ver que em todas as posições específicas dos centros de dilatação pode ser localizado nas circunferências-se, como é o caso em que elas são tangentes entre si.

Centros de homotecia se de circunferências 2

Se um está dentro do outro também ver o outro centro homothetic está dentro tanto circunferencis.

Centros de homotecia se de circunferências 3

Aplicação dilatação para os problemas de tangência

Uma das possíveis aplicações desta transformação é a determinação de condições de tangência com círculos em dois hetero.

Suponha o seguinte exercício:

Determine os círculos tangentes a duas linhas e passando por um ponto P

Homotecia - Problema tangência

Se assumirmos que o ponto de intersecção das retas tangentes é um centro de dilatação, H, circunferência pode converter qualquer motivo, procurar em outro círculo para ser tangente a estas linhas. Para fazer essa transformação ou escolher um raio para este novo círculo

Homotecia - Problema tangência posou

Ponto P deve ter um ponto homólogo, P', o novo circunferência. Este ponto será na intersecção deste círculo eo lado direto r passagem P e um centro de H de homotecia (Note-se que pode haver um outro ponto de intersecção r com c’, válido para uma segunda solução).

Homotecia - Problema resolvido tangências

O centro do circulo determinada através da obtenção da solução como raio homólogo passando P’, que passa através do ponto P e correr paralela à anterior.

Geometria métrica