Una recomendación que hago siempre a mis alumnos es que traten de resolver un mismo problema de formas diferentes, en lugar de hacer muchas veces los mismos problemas con enunciados casi similares.

En una de mis últimas clases planteamos la obtención del inverso de un punto, en una inversión en la que se conoce el centro y la potencia. El enunciado propuesto era el siguiente:

Dado el cuadrado de la figura, en el que uno de los vértices es el centro de inversión y el vértice opuesto es un punto doble, determinar el inverso del punto A (vértice contiguo).

Podemos buscar diferentes construcciones que se basen en los conceptos utilizados tanto en la geometría métrica como en la geometría proyectiva. Iniciaremos el estudio inicialmente con cinco soluciones de naturaleza métrica.

Inversión en el plano

Empezaremos por recordar la relación métrica entre dos puntos inversos, estudiada en el capítulo de “Inversión en el plano“.

1. La inversión es una transformación con centro. Cada punto A y su transformado A’ están alineados con el centro de inversión I.
2. El producto de distancias del centro de inversión a un punto y a su transformado es constante y se denomina potencia de inversión. IA*IA’=cte.

En el ejercicio propuesto, al conocerse un punto doble, conocemos la potencia de inversión que es el valor de la diagonal al cuadrado. Todos los puntos de una circunferencia de centro el de inversión y de radio la raíz de la potencia (diagonal del cuadrado) serán puntos dobles. Esta circunferencia se conoce como “circunferencia de autoinversión”

1 Teorema del cateto

El primer modelo propuesto se basaba en uno de los teoremas más usados en Geometría Métrica, el “Teorema del Cateto”.

El teorema del cateto nos permite relacionar mediante una media proporcional el cateto de un triángulo rectángulo con su proyección sobre la hipotenusa y el producto con ella.

Teorema del cateto

Si se considera al segmento IT como cateto de un triángulo rectángulo y al segmento IA como proyección de este cateto, al obtener la perpendicular por T se obtiene el punto A’ siendo IA’ la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

2 Teorema del cateto

A partir de este mismo concepto podemos realizar una nueva construcción en la que determinemos el arco capaz de 90º que va a soportar al triángulo rectángulo. Este arco capaz sobre el segmento buscado IA’ lo obtendremos ya que es una semicircunferencia que pasa por los puntos I y T, y tiene su centro en la recta IA. Determinaremos la mediatriz del segmento IT (que pasará por el punto A en este caso particular al ser la diagonal de un cuadrado) y de terminaremos el centro del arco capaz sobre la recta IA.

3 Concepto de Potencia

La potencia de un punto respecto de una circunferencia, que definimos como la mayor por la menor distancia del punto a dicha circunferencia y que es igual al segmento de tangencia (desde el punto a la circunferencia) al cuadrado, nos permite obtener nuevas construcciones.

En la figura vemos cómo el segmento de tangencia “l” es media proporcional entre “m” y “n”.

Para la nueva construcción determinaremos una circunferencia en la que IT es el segmento de tangencia y debe pasar además por el punto “A“, por lo que su centro estará en la intersección de la recta perpendicular a “I-T” por “T“, con la mediatriz de “A-T”

4 Concepto de Potencia: Antiparalelismo

El concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia se basa en el producto de la mayor por la menor de las distancias de un punto a una circunferencia.

Estos valores de la distancia se dan en la cuerda que contiene al centro de la circunferencia y al punto, es decir, en el diámetro que contiene a dicho punto. Es posible generalizar este concepto para considerar otras cuerdas que pasen por el punto P, como hemos visto en la “Generalización del concepto de potencia“.

Aplicando el teorema de Thales a los dos triángulos semejantes (PAD y PCB ya que comparten el ángulo en P y por ángulos en la circunferencia, arco capaz, son iguales en B y D) obteníamos que:

PA/PD = PC/PB

y por lo tanto

PA * PB = PC * PD = Constante

Lo que demostraba que la potencia desde el punto P es independiente de la recta elegida, como queríamos demostrar.

Las rectas AB y CD son antiparalelas de AD y CB formando dos a dos los mismos ángulos.

En nuestro caso la recta I-T-T’ y la I-A-A’ serán antiparalelas de A-T’ y A’-T, siendo en este caso un ángulo recto el que forman dos a dos.

5 Inversión de una recta

Al invertir figuras hemos visto que la inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que si pasa por este punto, cuyo centro se encuentra en la perpendicular a la recta desde el centro de inversión.

La inversa del segmento A-T será un arco de circunferencia cuyo centro se situará sobre la recta I-A, y pasará por el centro de inversión “I” así como por el punto doble “T-T‘”

Las 5 primeras soluciones son de naturaleza métrica. Veremos otras 5 utilizando los conceptos de la geometría proyectiva en el siguiente enlace.

(próximamente en este enlace ….) Solución proyectiva de la obtención del inverso de un punto

Geometría métrica