Al estudiar los conceptos de Itinéraire conjugué vimos una definición para el centro de la cónica basada en los conceptos de polaridad básicos:
El centro de la cónica es el polo de la recta impropia.
Pour obtenir le centre de la conique, il faudra avoir des pôles et des pôles par rapport à celle-ci.. En particulier les constructions sont simplifiées si l'on connaît les tangentes et les points de contact. Nous verrons qu'elle est surtout immédiate si l'on connaît trois tangentes et leurs points de contact respectifs, obtenu à partir de la définition de la conique par 5 données et l'application des techniques exposées pour déterminer les tangentes et les points de tangence:
- Application du chevauchement de série du second ordre
- Demande de second ordre faisceaux qui se chevauchent
Consideraremos por lo tanto que se dispone de tres tangentes y sus respectivos puntos de contacto, determinados a partir de los procedimientos anteriores.
Polarité
Si consideramos la involución entre series superpuestas de segundo orden con pares homólogos A.-A.’ y B-B’, el punto E est Centre d'involution y la recta et le axe d'involution. La ligne “et” est polar del punto “E” en ce qui concerne les lignes droites “r” y “s”.
Les points “T1” y “T2” son dobles en esta involución y por ello, las rectas tangentes a la cónica en ellos pasarán por el centro “E” de la involución. Donc:
Le polar “et” à un point “E” pasa por los puntos de tangencia “T1” y “T2” de las tangentes a la cónica desde “E“, ya que es el eje de la involución de centro E.
En esta figura podemos ver que la polar del punto “E1” es la recta “e1“. Bastaría suponer que E1 es el centro de una involución que transforma el punto A sur B et le point A‘ sur B», por lo que es armónica la cuaterna (E1 E2 T1 T2)
A partir de esta cuaterna armónica podemos concluir propiedades interesantes para determinar el centro de la cónica. Un E1 es un punto impropio el punto E2 deberá de ser el punto medio entre T1 y T2 . En consecuencia la recta E-E2, polar de E1, deberá contener al centro de la cónica
En el caso en que el punto “E” sea impropio (à l'infini), las tangentes desde este punto serán paralelas y la recta “et” se convertirá en un diámetro de la cónica pasando por el centro de la misma.
Lugar geométrico del centro de la cónica
La obtención del centro se realizará mediante la intersección de dos lugares geométricos obtenidos a partir del mismo principio. Analizaremos este lugar geométrico para el que necesitamos dos tangentes y sus puntos de tangencia.
Para determinar el lugar geométrico buscado buscaremos el punto medio entre dos puntos de tangencia, ya que esta recta es la polar del punto Je de intersección de las tangentes en dichos puntos. Como hemos visto, la recta que pasa por este punto medio y el de intersección de las tangentes contiene al centro de la cónica.
El centro se obtendrá como intersección de dos lugares geométricos, repitiendo el proceso anterior para otra pareja de puntos de tangencia.
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