Gli proiettiva definizione della conica Permette di iniziare a risolvere i problemi classici di determinazione di nuovi elementi della conica (nuovi punti e tangenti in loro), e trovare l'intersezione con una linea o una tangente da un punto esterno. Questi problemi possono essere risolti con vari metodi più o meno complessi e percorsi concettualmente più o meno laboriose.
Vediamo ora come determinare i due possibili punti di intersezione di una riga con un cono definito da cinque punti. Come strumento ausiliario per risoluzione utilizzerà un circonferenza come una serie di secondo ordine.
Il problema determinato dal 5 punti (P1 … P5) e una retta r. La conica sarà essere rintracciata. L'analisi è rappresentato al supporto concettuale anche se non possiamo usare la curva direttamente nella risoluzione del problema.
Se comprendiamo la conica come una curva che contiene i punti prodotti dall'intersezione di due fasci proiettivi e contiene anche i vertici di tali fasci, Possiamo generare due travi con due vertici dei punti e di proiettare i rimanenti tre della conica per trovare i suoi raggi.
Si sezionare la retta r dai raggi di questi fasci proiettivi Otterremo due sovrappongono di primo ordine linea di base in cui vogliamo determinare i punti di intersezione.
Stiamo cercando punti di intersezione saranno gli elementi di sovrapposizione serie dual, quindi il problema sarà ridotto per ottenere elementi di doppi due serie sovrapposte.
Per risolvere questo problema ci mostrerà un punto ausiliario (Vaux) passare la serie sovrapposta per rendere concentrici e quindi abbiamo poi da un cerchio, passando per il nuovo vertice. In questo modo otterremo serie di secondo ordine sulla circonferenza che sono proiettive sovrapposte su linea serie.
Per determinare gli elementi doppi serie di secondo ordine otteniamo proprio asse proiettivo, essendo i punti doppi di questo albero con la base di taglio circolare. Se si dispone di un doppio punto la linea sarebbe solo tangente alla conica, e se non c'è nessuno (circonferenza esterna albero proiettive) la retta r non avrebbe tagliato per la conica.
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