Geometria projetiva: Triplos ordenados de elementos

Triplos ordenados de elementos

A geometria métrica é baseada no conhecido teorema de pitágoras. Todos os teoremas são deduzidas a partir do conceito de medição que é derivado a partir dos triângulos rectângulos.

Analogamente, geometria projetiva é baseado em um outro teorema importante, o Teorema de Thales, em vez disso, estabelece um conceito noção métrica de medidas de relacionamento, projetiva invariante.

Conceito de triplos de elementos

Três itens dentro de uma maneira de primeira classe determinar a interno.

No caso de se utilizar os elementos de pontos, então dizemos que três pontos determinam um ponto ordenou triplo.

Os elementos podem ser quer lineares ou manchas plana como, mesmo hiperelementos poderia gerar triplica de geometrias complexas.

Para representar simbolicamente usar a seguinte notação:

• Pontos Triplet: (Abc)
• Terna reta: (abc)
• Terna de planos: (abc)

O trio tem um valor numérico ou característica Gestão associada envolvendo os termos que formam.

• (Abc) = AB/AC = λ. [Ec. 1]
• (abc) = O(de)/sua(CA) = G. [Ec. 2]
• (abc) = O(ab)/sua(CA) = G. [Ec. 3]

Triplos ordenados de pontos

Define-se o valor de uma de três pontos triplos ordenados como a proporção de dois comprimentos, o segmento que forma o primeiro e segundo ponto do tripleto eo segmento formado pelos primeiro e terceiro pontos:

Ec. 1

Os segmentos podem ser assinados. A direcção do segmento AB é contrária à BA, o lo que es lo mismo, AB = – BA

Conceptualmente um pode compreender uma chapa, tanto quanto o segmento da outra unidade.

Por exemplo, Se B é o ponto médio do AC, o trio (Abc) = 1/2. Segmento AC funciona como uma unidade de medida.

Triplos ordenados de linhas

Ele define o valor da ordenada triplo três hetero como a razão entre dois seios, o ângulo formado pelas duas primeiras linhas e determina a primeira e terceira hetero:[Ec. 2]

EC.-2

Três viga reta vértice V, e os três pontos de uma série de secção da faixa por uma linha recta pode ser associado com os valores de seus triplica.
Este valor é o característico do tripleto é fundamental para as projeções Ranking, de modo que é invariante aqueles desfrutar de propriedades comuns tipo de projeção independente.

Forma 2.- Relação entre triplos de pontos e linhas

Pela projeção ortogonal pontos B e C rerie o retilíneo em frente na Fig.1, são obtidos os pontos B 'e C'. Triângulos ABB ' e ACC 'são similares assim, relações através da aplicação do teorema de Thales:

(abc) = O(de)/sua(CA) = G [Ec. 2]

O valor do seno do ângulo formado pelas linhas a e b, bem como que formado pelas linhas a e c vontade:

Ângulos entre equações de retas

Se estes últimos valores são substituídos na [Ec. 2] nós:

equação 6. Relação entre triplos de pontos e linhas

Portanto, en general, (Abc) ≠ (abc), o valor a partir de uma lista de linhas é diferente de uma lista de pontos que o segmentado.

Se viga reta seccionadas por duas linhas não paralelas, determinada série são para a frente juntos, embora não tríades dot têm a mesma característica.

Um exemplo é a projecção cónica do ponto V.

Fig-3 perspectivity entre conjuntos

Para ser igual a duas tríades é necessário que a proporção VC / VB é igual à unidade. Isto é conseguido quando o vértice é um ponto impróprio, ou quando as linhas são paralelas seccionado.
Isto permite que as propriedades interessantes do projeções de natureza cilíndrica (impróprio vértice) e projeções e, ou, seções retas ou apartamento por.

Quando o vértice V viga reta está localizado no infinito, o termo VC / VB de lã [Ec. 6] tende a unidade, de modo que a lista dos pontos é igual ao triplo de linhas.

Fig-4 Conservação razão simples para seções retas paralelas Na seção três linhas de um feixe impróprio vértice (linhas paralelas ao, b e c na figura ), diferentes pontos triplos de resultados na seção, portanto, têm o mesmo valor ou característica. Este caso corresponde às saliências conhecidos como projecções cilíndricas, em que é projectado numa direcção ortogonal ou oblíquo em relação ao plano de projecção, ou plano do desenho.

FIG.- 5 Conservação razão simples para seções retas paralelas Na seção três linhas de um feixe vértice próprio (linhas paralelas ao, b e c na figura ), diferentes pontos triplos de resultados na seção, portanto, têm o mesmo valor. Este caso corresponde às saliências cónicas em planos ou linhas que são paralelas e os homotecias.

Conservação simples razão de projeções cilíndricas:

O modelo projectiva pode ser muito útil no estudo de sistemas de representação. Diferentes representações para elementos em um plano de projeção projeção.

Este processo envolve o uso de duas operações projetiva:

• Planejamos ponto
• Seccionado o feixe resultante no plano de projecção.

Nós usamos o termo projetivo por exemplo, para definir o conceito de projeção de um elemento.

• Projectando um ponto da outra é para definir a linha pertence a ambos os elementos (Retilíneo Série)
• Projetar uma linha de um ponto para definir o plano que pertence a ambos os elementos (Endireitai)
• Projetando um plano de um ponto para definir o conjunto de linhas / aviões que pertencem ao ponto e os pontos / linhas de plano (Radiação de rectas / planos)

Ao projetar os elementos, centro da projecção pode ser:

• Próprio
• Impróprio

No caso de uma saliência com o centro imprópria (ou também chamado projecção cilíndrica), preserva a simples razão de projetar raios triplos.

(COM) = (A'M'B ')

FIG.- 7 Projecção do ponto médio do segmento de uma projecção cilíndrica.

A projeção do ponto médio, portanto, corresponde ao ponto médio da projecção.

Este resultado é útil em numerosos problemas, em que a relação entre as peças, geometria, é conhecido.

Por exemplo, a obtenção da projecção do baricentro de um triângulo pode ser limitada novamente para localizar o centro de gravidade do triângulo projectado.

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