Geometria métrica: Loci. Solución I (Seletividade 2014 – B1)

Vamos a resolver el problema de determinar un cuadrado, cuyos vértices se encuentran sobre elementos geométricos dados.
En particular fijaremos los correspondientes a una de sus diagonales sobre una recta, otro de los vértices en una recta diferente y el cuarto vértice sobre una circunferencia.

El nivel de este problema es básico, no necesita de conocimientos geométricos avanzadas aunque si es necesario un análisis detallado para determinar su solución y cuantificar cuántas de pueden dar.

Enunciado del problema

Como vimos, el enunciado decía:

Dada la recta r, A reta s e circunferência c, dibujar los posibles cuadrados que tengan una diagonal comprendida en r, un vértice en la circunferencia y otro en la recta s.

Para resolver un caso concreto se facilitaba la siguiente imagen, en la que se dan los elementos geométricos necesarios que complementan al enunciado.

Podemos cambiar la posición de dichos elementos en cuyo caso veremos que se puede limitar el número de soluciones o incluso impedir que exista alguna, pero eso será más adelante una vez analizado el problema propuesto.

Análisis del problema

La idea básica que permite resolver el problema es ver que si una diagonal se encuentra sobre una recta dada (en color negro) os outros dois vértices estão à mesma distância d de dicha recta.

Se os vértices anteriores estão à mesma distância a partir da linha r É contendo a diagonal, um deles é em outra linha, s, o vértice que resta deve ser na reta simétrica desta (s) com respeito à diagonal contendo (r), actuando assim como eixo de simetria axiais.

Possíveis interrupções da linha s’ simétrico s no que respeita ao r, ser possíveis vértices do quadrado procurado.

A figura seguinte é concluída uma das soluções, determinar o resto dos vértices do quadrado, Como se ve, Eles vão estar em uma circunferência circunscrita ao mesmo, Centre Point O1.

soluções de análise

É fácil concluir que este problema pode ter dois, uma ou nenhuma solução de acordo com os valores de corte de linha s’ com a circunferência c.

• Se a reta curta não haverá nenhuma solução real para o problema (soluções imaginárias)
• Se a linha é tangente à circunferência tem uma solução única (duplo)
• Se os curtas retas dois pontos tem duas soluções (soluções reais)

Além de alterar a situação dos elementos que podemos mudar um dos elementos geométricos.

Qual seria a solução, se em vez de ter o vértice na linha de s tinha sobre outro círculo dado ?

Tenho certeza que você facilmente encontrar a solução para este problema novo.

GEOMETRÍA MÉTRICA