阿波罗尼奥斯和他的十个问题

他们写的文章我的学生在几何课最全面的描述如何解决所谓的 “阿波罗尼奥斯问题”.

确定来直圆周或几何约束切线定义是基于对一个家庭的几何问题的极大兴趣.

本组 “AG-Nosotros no somos catetos” nos introduce con acierto y rigurosidad en este problema. Publicado inicialmente 这里, perteneciente a los grupos de la experiencia de “部落格Experimentales的”, transcribo el artículo literalmente, añadiendo algunos enlaces en el texto que lo complementan. Gracias Diego, Alicia, Clara, Sara Y Sergio

阿波罗尼奥斯和他的十个问题

Biografía:

Antes de desarrollar las teorias y problema de Apolonio vamos a exponer una breve biografía de Apolonio.

Apolonio era un matemático griego nacido en Perge(262 a.C.- 190 a.C.),fue discípulo de Arquímedes. Tampoco se sabe sobre su vida excepto por las introducciones que hacía en algunos de sus tratados de los que se compone su gran obra “Las cónicas” en el que se utilizan por primera vez los términos: “椭圆, parábola e hipérbola“. También descúbrió y describió los “Epiciclos” con los que Ptolomeo utilizaria para explicar el movimiento de los planetas. Según los historiadores Apolonio tenía un carácter irascible lo que le hacía de un trato difícil.

Entre las obras geométricas de Apolonio de Perga destacan “Los Lugares Planos” donde se desarrollan las operaciones más importantes que hay que conocer en el trazado geométrico con un lenguaje moderno y cercano a la geometría analítica como: la homotecia, la traslación, 投资, la rotación y la semejanza.

Una de las principales aportaciones de Apolonio a la geometría es la propuesta sistémica de los problemas de tangencias, que se resumen en el siguiente enunciado:

“Dados tres objetos que pueden ser, 它们中的每一个, 点, rectas o circunferencias, 画切线三个“.

从切线获得不同的问题，置换这些元素，以经典几何的研究已知案例引起, 与已开发的整个历史的各种提议的解决方案.

他们脱颖而出 10 例:

• 三点,
• 三连胜,
• 两点的直线,
• 两条线和点,
• 结肠和圆周,
• 两个圆圈和一个点,
• 两行和一圆周,
• 两个圆周和一个直,
• 点, 直和圆周
• 三圈.

Apolonio的另一种基础性的贡献, 他们是圆锥.

圆锥部分已经知道当Apolonio进行的这些研究, 但他的论文在运动理论的休息. Anteriormente a Apolonio se creía que la hipérbola, la parábola, y la elipse se obtenían de secciones de conos diferentes de acuerdo con el ángulo del vértice.

所以, Apolonio demostró que estas curvas pueden obtenerse de las secciones de un mismo cono, variando la inclinación del plano que corta a este. Además de certificar que el cono no tiene porque ser un cono recto, puede ser circular, escaleno u oblicuo.

Ademas las curvas cónicas tienen propiedades interesantes.

Una de las mas importantes que descubrió Apolonio son las propiedades de reflexión.

Reflexión de la parábola: si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, 然后镜子反射的光会聚在焦点处.

传说阿基米德, 阿波罗尼乌斯的同时代人, 他利用这片土地烧毁罗马人的船只，保卫锡拉丘兹免受罗马人的侵害。. 对于这个, 制造了一套抛物面镜系统，能够将太阳光线集中在罗马船只上.

如今，该房产有多种用途，例如: 雷达系统, 电视天线或太阳镜, 其中包括.

椭圆的反射: 如果光源位于椭圆镜的焦点处, 那么镜子中反射的光会集中在另一个焦点上.

亦即, 如果一条射线从其中一个焦点出发, 当在椭圆中反射时，光线将沿着穿过另一个焦点的路径.

基于此属性, 我们可以检查是否有椭圆形的台球桌, 我们把球从它的焦点之一扔出去, 任何地址, 它将从游戏桌上反弹并穿过另一个焦点。.

如果球继续弹跳，它会再次穿过第一个焦点。, 等等, 直到有一天，球的轨迹与椭圆的半长轴混淆了.

如果我们不是从焦点之一或连接焦点之一的任何其他点扔球, 球轨迹的各段将描述另一个椭圆的形状.

相反, 如果球的起点是连接焦点的线上的一点, 这将绘制具有相同焦点的双曲线的包络线.

椭圆形屋顶房间的建造很奇怪. 通过从其中一盏灯发出声音, 这将从另一个焦点中完全清晰地听到. 此外，无论我们向哪个方向发出声音，声音从一个焦点传输到另一个焦点都需要相同的时间。. 这种效果还可以使房间隔音。.

双曲线反射: 来自双曲线的一个焦点的光线被反射，使得反射的光线看起来像是来自另一个焦点.

该属性已用于创建 劳兰, que es un dispositivo de navegación hiperbólica radioeléctrico que se ha empleado y se sigue empleando, claro que en menor medida debido a la aparición del GPS y otros sistemas, para fijar la posición de barcos y aviones.

Se fundamenta en el calculo de la diferencia de tiempo con que se obtienen en un receptor las señales que se originan en las dos estaciones emisoras localizadas en la superficie terrestre.

Como el posicionamiento se realiza en dos dimensiones, si se sabe la diferencia de las distancias a las dos estaciones se puede localizar el lugar geométrico de los puntos, en que se puede encontrar el barco o el avión, que es una hipérbola cuyos focos son las estaciones.

Conociendo la intersección de dos o más hipérbolas es posible definir la posición del avión o barco.

LOS DIEZ PROBLEMAS DE APOLONIO

A continuación vamos a tratar los 10 problemas fundamentales de Apolonio, los cuales están basados en las tangencias entre rectas y circunferencias.

Vamos a empezar hablando por su problema principal, a partir del cual se resuelven todos los demás casos, es decir todos deben reducirse en definitiva a una circunferencia que sea tangente a otra y que pase por dos puntos. Aunque su problema más difícil es hacer una circunferencia tangente a otras tres.

Primer y segundo problema

Anteriormente a este problema hay que son sencillos de realizar, los cuales son: trazar la circunferencia que pasa portres puntos(购买力平价) 并追踪穿过两点并与线相切的圆周(PPR). 它们如下所示:

周长通过三点.

切线圆周到一条线并经过两个点

第三个问题

现在，我们将集中讨论一个圆周与另一个圆周相切并经过两个点的情况. 解决步骤如下.

1. 我们找到连接给定点的线段的垂直平分线, 它必须是我们寻求的圆周中心.
2. 我们知道，连接点的线将是我们要查找的所有圆的根轴.
3. 接下来，我们绘制一个辅助圆，该圆穿过这些点并切去给定的圆，然后绘制一条连接两个圆的交点的线. 在此线与连接两个点的线的交点处 (激进的轴) 我们找到了激进的中心.
4. 我们找到从根中心到给定圆周的切线, 这些相切点也将是我们正在寻找的圆周.
5. 最后，我们将相切点与圆周的中心连接起来，并在切成给定点的垂直平分线的地方获得解圆周的中心.

第四个问题

我们将继续讨论与三条线相切的圆的情况, 在这种情况下，将有四个可能的解决方案, 如下图所示.

程序很简单:
-我们必须知道，圆心必须在形成三条线的内部和外部等分线上. 在这些线的交点处产生所需的圆周.

第五题

以下情况解释为与两条线相切并通过点的圆.

在这种情况下，我们必须谈论各种可能性:

1- 如果线相交并且点在它们之间:

在第一种情况下，我们要做的是找到它们形成的角的平分线并找到给定点的同系物, 于是问题归结为，通过两点的直线相切的圆

( 上面解释的).

2-: 它可能发生在给定的点属于一个给定的线:

在后一种情况下，我们做的是跟踪平分线形成两行两个áangulos的和给定的点绘制一条垂直线包含它平分翅膀切点寻求, 即圆周的中心.

3: 最后，我们将讨论两个给定的线是平行的可能性.

知道的一点是两线之间的, 与中心A和线之间的距离等于直径，因此，画一个圆. 通过这种方式，我们获得了两个解的中心在与平均平行线相交处. 该点也可以在给定线上找到，就像B点一样 , 所以我们找到解圆的中心是由所述点B构成的中值平行线和垂直于两条平行线中任何一条的垂直线的交点.
如下图所示:

第六题

这个问题是基于使一个圆与其他两个圆相切，并且同时经过一个点...我们将有四个可能的解决方案.

我们认为他们给我们作为投资中心并采取两个圈子之一的观点, 作为自我投资的一部分, 然后绘制点dobles.Y circunferncia随后找到circunferenica的inversión.lascircuanferencias切线提供的数字显示逆的解决方案，还包含圆周切点在它的交叉点用虚线circunferncia找到dobles.Posterioemente. 最后周长tarzar的.

第七个问题

我们将解释如何执行circunferncia切线为两行，又是切线另一个圆dada.Podremos的把这个问题分为两个:

1- 我们将讨论在线之间包含给定周长的情况. 第一步是在一条平行直线的两侧以等于给定圆周半径的距离构建, 下面我们发现所述圆周的中心相对于由两条线形成的角的平分线对称. 连接中心及其对应线的线切割了在一点处绘制的线之一, 从这一点开始，我们将切线绘制到中心的圆周，并穿过所述中心的对应点. A continuación trazamos un arco de circunferencia con centro el punto hallado y haciendo que pase por los puntos de tangencia, asi lo que conseguimos es que corte a la paralela hallada primera la corte en dos puntos, por último levantamos perpendiculares desde dichos puntos cortando a la bisectriz en dos puntos, los cuales serén los centros de las circunferncias buscadas.Para poder encontrar las otras dos circunferncias solución lo único que hay que hacer es repetir el proceso de nuevo con la otra paralela, así obtendremos las cuatro soluciones del problema.

2- Puede ocurrir que la circunferencia dada sea tangente a una de las rectas, por lo que para resolverlo se hace de la misma manera que antes, pero dos de las circunferencias solución corresponderán a la pareja auxiliar exterior ( se realiza de la misma forma que antes) y las otras dos soluciones se reducen al caso en que dos rectas se cortan, ya que conocemos el punto de tangencia de una de ellas.

Octavo Problema:

在这种情况下, el problema de Apolonio consiste en dadas dos circunferencias y una recta, hallar una circunferencia que sea tangente a las dos circunferencias y a la recta.

Este complicado caso, con ocho soluciones, se resuelve por reducción al caso de un punto (el centro de una de las circunferencias), una recta (una paralela a las dadas) y una circunferencia (una circunferencia concéntrica a la dada). Las circunferencias concéntricas a una de las circunferencias dadas tienen de radio R+r y R-r siendo R y r los radios de las circunferencias dadas y las paralelas a la recta se trazan a distancia r de la recta dada.

所以, estas cuatro circunferencias se han obtenido considerando una circunferencia concéntrica de radio R+r; de las cuatro circunferencias, dos se obtienen con una de las paralelas y las otras dos con la otra.

Estas cuatro circunferencias solución se obtienen considerando ahora una circunferencia concéntrica de radio R-r y de nuevo, dos con una de las paralelas y otras dos con la otra.

Aquí podemos ver las ocho soluciones en una misma figura.

Noveno problema

在我们解决基本问题之前，我们将发展阿波罗尼乌斯（Apollonius）十个问题的倒数第二个案例, 在这种情况下，我们将解释通过点并在圆周和直线同时切线的圆周.

根据数据放置的不同，我们可以有四个解决方案，但是在某些情况下，我们无法解决任何问题。.

为此，您必须遵循一系列步骤:

1. 线是圆周的倒数 , 我们找到一条垂直于该线的线，该线穿过给定圆周的中心, 所以我们找到圆周反转的中心( 我在图纸上).
2. 我们绘制一个任意圆周，该圆周穿过给定的点，并穿过绘制的线与给定的圆和直线相交的点，找到给定点的同系物，以及根部轴和根部中心。( 图中的P和P´点)
3. 我们在点P和P´之间绘制垂直平分线，然后我们将找到解圆的中心. 接下来，我们去皮能力为90º的CR-O弧段，并以此定义切线T的位置.
4. 以CR为中心并使用CR-T广播，我们在T1和T2中削减了r. 从T1垂直于r的线切割PP的垂直平分线’ 在S2处，并且另一个垂直于T2的地方将在S1处切割, 两个解圆的中心.
5. De este modo obtenemos dos soluciones.

1. Para poder obtener las otras dos soluciones debemos de considerar el centro de inversión negativo y hallar A´.Trazamos una circunferencia arbitaria que pase por los puntos A, A'和P，然后在以前的情况下，我们发现中心点和轴P'y的根治.
2. 我们弧段90 CR-O, 由此得到的位置在CR和CR-T的半径前面的情况cenro的T相切的切点 3 和 4 禁行两点.
3. 绘制的中垂线段PP'. 由于T3 A线垂直平分线削减AR PP'en的S3和S4 T4削减另一个垂直, 的其他两个圆圈溶液中心.

第十届问题.

Por último vamos a hablar del problema fudamental de Apolonio, 一个完整的圆相切三. En este caso podemos obtener hasta ocho soluciones dependiendo la forma en la que se encuentren las tres circunferencias que nos dan. Se realiza de la siguiente manera:

Lo primero que debemos hacer es hallar los seis centros de homotecia, tres internos y tres externos, de las tres circunferencias que nos dan. Estos seis puntos resultan estar en cuatro rectas. A continuación lo que hacemos es coger una de estas cuatro rectas y hallamos el polo respecto de las tres circunferencias, posteriormente unimos el centro radical de la circunferencia con los tres polos y obtenemos los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas con las circunferencias dadas.Lo único que debemos hacer ahora es elegir bien entre los seis puntos de tangencia encontrados para trazar dos circunferencias tangentes. Este procedimiento que hemos realizado con una de las rectas, lo debemos realizar con las otras tres para poder obtener las ocho soluciones.

Se muestra una imagen de como sería la solución final. Es un poco complicado la realización de este ejercicio y esto queda patente en este dibujo.

Información obtenida de: “Geothesis” “Zonabarbieri” y Bella geometría.

Este artículo fue escrito por los alumnos de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Aeronáutica durante una experiencia de innovación educativa con uso del blog como herramienta formativa. Mi reconocimiento a su esfuerzo en sintetizar los métodos trabajados en el aula en este artículo que ha sido respetado casi en su totalidad, en forma y contenido