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Geometría proyectiva: Proyectividad

Captura de pantalla 2014-02-11 a la(s) 19.23.05La relación denominada cuaterna” o “razón doble entre cuatro elementos” permite definir transformaciones homográficas como la proyectividad general y la perspectividad.

Hemos visto, al estudiar la perspectividad entre formas de primera categoría, que una serie de base v y un haz de vértice V, no situado sobre la recta v, son perspectivos si la serie es sección del haz o, lo que es lo mismo, si el haz es proyección desde el vértice V de la serie de base v.

Esta noción de perspectividad entre elementos de primera categoría, pero de diferente naturaleza (puntos, rectas), la hemos definido para elementos similares (haces de rectas y series de puntos), generalizando el concepto de perspectividad posteriormente a elementos geométricos de la misma naturaleza:

Captura de pantalla 2014-02-11 a la(s) 19.32.50

Dos haces de rectas de vértices diferentes, V y V‘, son perspectivos entre sí, cuando se pueden obtener como proyección de una serie común.

Dos series de puntos de bases diferentes, s y s‘, son perspectivas entre sí, cuando se pueden obtener como sección de un mismo haz.

En ambos casos vemos que las formas geométricas así relacionadas, series o haces, tienen un elemento doble común (punto o recta dobles).

  • Los haces de rectas V(abcd…) y V’(a’b’c’d’…), de bases V y V’, son perspectivos con eje perspectivo la recta e. La recta común a V y V’, que contiene a las bases de los haces, es un elemento doble: d=d’
  • Las series de puntos r(ABCD…) y r’(A’B’C’D’…), de bases r y r’ , son perspectivos con centro perspectivo el punto V. El punto común a r y r’, que contiene a las bases de las series, es un elemento doble: D=D’

Formas proyectivas

Al mover dos haces perspectivos se pierde la condición de perspectividad, sin embargo, al no modificar la posición relativa entre los elementos de cada forma, las cuaternas se mantienen:

(abcx)=(ABCX)=(a’b’c’x’)

Captura de pantalla 2014-02-11 a la(s) 19.40.11

Diremos que los haces de vértices V y V’ son proyectivos si las cuaternas que determinan cuatro elementos de uno y los homólogos del otro haz son iguales (tienen la misma característica).

En el caso de dos series perspectivas tendremos el mismo resultado. Si separamos mediante un movimiento dos series que son sección de un mismo haz, dejarán de ser perspectivas pero mantendrán la igualdad de las cuaternas, siendo por lo tanto proyectivas entre si.

Captura de pantalla 2014-02-11 a la(s) 19.50.11

En este caso, si formamos una cuaterna con cuatro puntos de una de las series y otra con sus homólogos de la otra serie se cumplirá:

(ABCD) = (A´B´C´D´)

Veremos más adelante cómo podemos operar con estas series y haces mediante perspectividades intermedias, obteniendo lo que denominaremos “centros y ejes proyectivos

Geometría Proyectiva

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