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Sistema Diédrico: Distancia de un punto a una recta

Podemos definir la distancia de un punto P a una recta r como la menor de las distancias desde el punto P a los infinitos puntos de la recta r.

Este problema puede tener dos enfoques diferentes para determinar la solución buscada.

  • Obteniendo el plano perpendicular a la recta, que contiene al punto P
  • Obteniendo el plano que contiene a la recta y al punto P

En el primer caso, al obtener el plano perpendicular a la recta que contiene al punto P, deberemos encontrar la intersección (I) de dicho plano con la recta r. La distancia será el segmento PI.

Podemos determinar esta distancia obteniedo la recta perpendicular a la recta r desde el punto P y determinar su punto I de intersección. La distancia d de P a I será la mínima distancia desde este punto a la recta r.

 

El segundo enfoque consistirá en determinar un plano formado por la recta y el punto P.

La solución se determinará obteniendo la recta del plano que pasa por P y es ortogonal a r.

Plano perpendicular a la recta que contenga al punto P

Una recta es perpendicular a un plano si lo es a dos rectas no paralelas de dicho plano, por lo que, para determinar la dirección de un plano perpendicular a una recta necesitaremos determinar dos direcciones que sean perpendiculares a dicha recta. Posteriormente situaremos el plano en el espacio haciéndolo pasar por un punto dado y determinaremos el punto de intersección (I) con la recta (r).

Utilizaremos este planteamiento en este artículo, dejando para el lector el análisis del otro enfoque que hemos comentado.

Plano perpendicular a una recta

Supondremos el problema propuesto mediante dos de las proyecciones del punto y la recta. En la figura se muestran las proyecciones horizontal y vertical en sistema diédrico de la recta y el punto.

Determinaremos el plano ortogonal a la recta que pasa por el punto obteniendo una recta horizontal y otra frontal que podemos hacer pasar directamente por el punto P, con lo que resolveremos la dirección y posición simultáneamente del plano buscado.

La recta horizontal, por ser paralela al plano horizontal H, se proyectará en esta proyección como una recta perpendicular a r. La segunada proyección será perpendicular a las líneas de referencia entre el alzado (proyección vertical) y la planta (proyección horizontal).

De forma similar obtendremos la recta frontal que, en este otro caso, será perpendicular a “r” en la proyección vertical.

Resolveremos la intersección utilizando un plano proyectante que contenga a la recta r, tal y como hemos visto en el capítulo “Incidencias

En la figura se ha utilizado un plano Ω perpendicular al vertical de proyección que contenga a la recta “r”. Este plano seccionará al plano definido por la horizontal y la frontal según una recta “i” que coincidirá en la proyección vertical con el plano auxiliar Ω.

Al determinar la proyección horizontal de la recta “i” podremos determinar el punto “I” buscado.

La distancia en proyección será el segmento PI

Para obtener la verdadera magnitud deberemos construir un triángulo rectángulo tal y como vimos al estudiar la “verdadera magnitud de una recta

 

Sistemas_de_representacion

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