Apollonius und seine zehn Probleme

Eines der umfangreichsten Artikel, die sie geschrieben haben meine Schüler in Klassen Geometrie beschreibt, wie die sogenannten lösen “Apollonius Probleme”.

Bestimmung kommen direkt Umfänge oder geometrische Abhängigkeiten von den Tangenten definiert sind auf einer Familie von geometrischen Problemen von großem Interesse basierend.

Die Gruppe “AG-Wir sind nicht hicks” führt uns zu Recht und Gründlichkeit in dieser Ausgabe. Veröffentlicht zunächst hierher, Zugehörigkeit zu der Gruppen erleben “Blogs experimentales”, Artikel wörtlich transkribieren, Hinzufügen einiger Links im Text, die sich ergänzen. Dank Diego, Alice, Clara, Sara und Sergio

Apollonius und seine zehn Probleme

Biografie:

Vor der Entwicklung die Theorien und Apollonius Problem präsentieren wir Ihnen eine kurze Biographie Apolonio.

Griechischer Mathematiker Apollonius wurde in Perge geboren(262 V. Chr.- 190 V. Chr.),war ein Schüler von Archimedes. Weder ist über sein Leben außer den Einführungen machte in bekannt einige seiner Abhandlungen von denen sein großes Werk komponiert “Die konische” verwendet in den ersten Semestern: “Ellipse, Parabel und Hyperbel“. Er entdeckte auch, und beschrieben die “Epizyklen” mit denen Ptolemaios benutzen würde, um die Bewegung der Planeten erklären. Historikern zufolge Apollonius hatte einen jähzornigen Charakter, der ihm eine schwierige Behandlung gemacht.

Unter den Werken von Apollonius von Perga geometrische Stand “Die Orte Planes” wo Operationen werden durchgeführt wichtigsten Dinge zu wissen, in dem geometrischen Design mit einer modernen Sprache und analytische Geometrie nahe wie: Dilatation, Übersetzung, Investitionen, Rotation und Ähnlichkeit.

Einer der wichtigsten Beiträge zur Geometrie des Apollonius ist die vorgeschlagenen systemischen Probleme Tangenten, die in der folgenden Aussage zusammengefasst:

"Angesichts drei Objekte, die kann, jeder von ihnen, Punkte, die geraden Kreise, dibujar einen Kreis tangential zu ihnen drei ".

Die verschiedenen Probleme tangencias von SWAP Elementen abgeleitet ergeben sich ihnen Conocidos Fallstudie der klassischen Geometrie, mit den verschiedenen Lösungsvorschläge, die machen haben es in die lange Geschichte der.

Hervorstechen 10 Fälle:

• drei Punkte,
• Drei gerade,
• Punkten und einer Linie,
• von Geraden und einem Punkt,
• Punkte und ein Kreis,
• von Kreisen und einem Punkt,
• von geraden Linien und eines Kreises,
• zwei Kreisen und einer Linie,,
• Punkt, eine Linie, ein Kreis
• drei Kreise.

Weitere grundlegende Beiträge von Apollonius, Die sind Conics.

Kegelschnitte wurden bekannt als Apollonius durchgeführt Die Untersuchung dieser, aber seine Abhandlung bewegt über die anderen Theorien. Früher glaubte man, dass Apollonius die Hyperbel, das Gleichnis, und Ellipse Abschnitte wurden aus verschiedenen Zapfen gemäß der Scheitelwinkel erhalten.

So, Apollonius gezeigt, dass diese Kurven aus den gleichen Abschnitten eines Kegels erhalten werden, Variieren der Neigung der Ebene, die diese schneidet. Zusätzlich zu bestätigen, dass der Kegel nicht an einem rechten Kegels, kann kreisförmig, scalene oder schräg.

Neben konischen Kurven haben interessante Eigenschaften.

Einer der wichtigsten Apollonius entdeckt sind die Reflexionseigenschaften.

Spiegelung der Parabel: wenn es Licht von einer entfernten Quelle mit Parabolspiegel, so dass die einfallenden Strahlen parallel zu der Achse des Spiegels, dann wird das Licht durch den Spiegel reflektiert wird, auf den Fokus fokussiert.

Die Legende besagt, dass Archimedes, Zeitgenosse von Apollonius, Mit dieser Eigenschaft nach Syracuse von den Römern zu verteidigen verbrannte die Schiffe davon. Dazu, erzeugt ein System von Parabolspiegel das Sonnenlicht konzentrieren bekam in den römischen Schiffen.

Heute ist das Hotel bietet zahlreiche Dienstprogramme wie: Radarsysteme, TV Antennen oder Solarspiegeln, ua.

Spiegelung der Ellipse: wenn eine Lichtquelle im Brennpunkt eines elliptischen Spiegels platziert, dann wird das Licht in dem Spiegel reflektiert wird, an dem anderen Brennpunkt konzentriert.

Nämlich, wenn ein Strahl von einem Brennpunkt, durch den Strahl reflektiert Ellipse folgen einem Weg, der durch den anderen Brennpunkt ging.

Basierend auf dieser Eigenschaft, können wir sehen, dass, wenn wir einen Billardtisch mit elliptischen, und startete den Ball von einer Fokus, mit jeder Richtung, diese Bounce mit Spieltisch und gehen durch die anderen Fokus.

Wenn der Ball prallt würde durch den ersten Schwerpunkt weiter, usw., llagase bis zu einem Zeitpunkt, wenn die Flugbahn des Balles mit dem semi-Hauptachse der Ellipse würde verwechselt werden.

Wenn sie statt den Ball zu werfen von jedem anderen Punkt als ein Schwerpunkt war nicht einer von der Linie, die verbindet, Segmente der Flugbahn Figur beschreiben andere Ellipse.

Und umgekehrt, wenn der Startpunkt der Kugel war ein Punkt auf der Linie, die die Schwerpunkte, Dies wird den Umschlag einer Hyperbel mit derselben Herde zeichnen.

Der Baubeginn ist neugierig elliptischen Decke Zimmer. Wenn ein Geräusch von einem Fokus, Dies wird mit lebendigen Klarheit von der anderen Fokus klingen. Auch der Sound wird die gleiche Zeit in Anspruch nehmen, um von einem Schwerpunkt zum anderen unabhängig von der Richtung ausbreiten, die wir für Broadcast. Dieser Effekt ermöglicht auch die Schalldämmung der Zimmer.

Spiegelung der Hyperbel: Strahlen, die von einem der Brennpunkte einer Hyperbel reflektiert werden, so dass die reflektierten Strahlen von einer anderen Quelle kommen scheinen.

Diese Eigenschaft wurde für die Schaffung verwendet worden LORAN, einen Radio Hyperbelnavigation Gerät, das verwendet wurde und wird noch, Es ist klar, in einem geringeren Ausmaß durch die Entstehung von GPS und andere Systeme, um die Position von Schiffen und Flugzeugen zu beheben.

Beruht auf der Berechnung der Zeitdifferenz in einem Empfänger Signale, die von den zwei Sendestationen in der Erdoberfläche befindet erhaltenen.

Da die Positionierung in zwei Dimensionen durchgeführt wird, wenn Sie wissen, die Differenz der Abstände zu den beiden Stationen finden die Stelle von Punkten, wo finden Sie das Boot oder Flugzeug, Das ist eine Hyperbel, deren Brennpunkte sind die Jahreszeiten.

Die Kenntnis der Kreuzung von zwei oder mehreren Hyperbeln ist möglich, die Position des Flugzeugs oder Schiffs definieren.

DIE ZEHN FRAGEN Apolonio

Dann werden wir behandeln 10 Grundprobleme der Apollonius, die auf den Berührungspunkt zwischen Linien und Kreisen basiert.

Beginnen wir reden über Ihr Hauptproblem, aus denen alle anderen Fälle gelöst, dh alle letztlich zu einem Kreis, der tangential zu einem anderen reduziert wird, und die durch zwei Punkte. Obwohl seine schwierigste Problem ist, einen Kreis tangential zu drei machen.

Erste und zweite Problem

Bisher wurde dieses Problem gibt es einfach durchzuführen, welche sind: zeichnen den Kreis durch die Punkte portres(PPP) und ziehen Sie den Kreis durch zwei Punkte und tangential zu einer geraden(PPR). Sind unten:

Kreis durch drei Punkte.

Tangent zu einer Linie und die durch zwei Punkte

Drittes Problem

Jetzt konzentrieren wir uns auf den Fall einer Tangente an einem anderen Kreis und durch zwei Punkte. Schritte zu lösen sind wie folgt.

1. Wir finden die Winkelhalbierende des Verbindungsstrecke der gegebenen Punkte, es muss die Mittelpunkte der Kreise sein, dass wir.
2. Die Linie, die die Punkte, die wir wissen, dass wird die radikale Achse der Kreise sein, dass wir alle.
3. Dann ziehen Sie einen zusätzlichen Kreis durch die Punkte und Schneiden des gegebenen Kreises und zeichnen Sie eine gerade Linie, die die Schnittpunkte der beiden Kreise. Am Schnittpunkt dieser Linie mit der Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten (radikale Achse) fand die radikale Mitte.
4. Wir finden die Tangenten von der Mitte zu dem Umfang gegeben Rest, diese Berührungspunkte der Kreise werden auch wir suchen.
5. Schließlich fügen wir die Berührungspunkte mit dem Mittelpunkt des Kreises und wo die senkrecht die gegebenen Punkten schneiden wir die Lösung Umfänge Zentren.

Viertes Problem

Wir werden mit dem Fall eines Kreises tangential zu drei Zeilen weiter, in diesem Fall gibt es vier mögliche Lösungen, wie unten im Bild gezeigt werden.

Das Verfahren ist einfach:
-Wie wir wissen, dass die Mitte der Kreise sind in der inneren und äußeren Winkelhalbierenden, die drei Linien zu bilden. Erzeugen Umfänge an den Schnittpunkten dieser Linien gesucht.

Fünfte Problem

Der nächste Fall zu erklären, ein aa tangential zu zwei Linien und welche durch einen Punkt sein.

In diesem Fall sprechen wir von mehreren Möglichkeiten:

1- Wenn die Linien geschnitten, und der Punkt ist zwischen ihnen:

In diesem ersten Fall, was wir hllar die Winkelhalbierende des Winkels und um den Gegenstück des gegebenen Punktes, woraufhin das Problem auf einem Kreis, der tangential zu einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft reduziert

( oben erklärt).

2-: Es kann vorkommen, dass der gegebene Punkt auf einer der genannten Linien gehört:

Im letzteren Fall ist wir verfolgen die Winkelhalbierenden der zwei áangulos bilden zwei Linien und der gegebene Punkt ziehe eine senkrecht zu der Linie, die es enthält, die Mittelsenkrechten Flügel in Punkten schneiden gesucht, dh die Mittelpunkte der Umfänge.

3: Schließlich werden wir die Möglichkeit, dass die zwei gegebenen Geraden parallel diskutieren.

A wissen, dass der Punkt zwischen den beiden Linien ist, daher ziehen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt A und Durchmesser gleich dem Abstand zwischen den Linien. So erhalten wir die Zentren der beiden Lösungen an der Kreuzung mit der Mitte parallel. Der Punkt kann auch in einer bestimmten Zeile wie Punkt B encontar , Daher liegt das Zentrum des Kreises als Schnittpunkt der Lösung durchschnittliche parallel und senkrecht zu einer der zwei parallelen Linien an dem Punkt B.
Unten:

Sechste Problem

Dieses Problem wird auf einen Kreis tangential zu zwei anderen und beim Durchgang durch einen Punkt bezogen .. Wir werden vier mögliche Abhilfen haben.

Wir betrachten den Punkt, dass wir geben als ein Zentrum für Investitionen und die eine der beiden Kreise, als Selbst-invertierenden Umfang, dann zeichnen Sie die Punkte dobles.Y circunferncia anschließend finden die circunferenica von inversión.las circuanferencias Tangenten angegebenen Zahlen sind Umkehrungen der Lösung und auch Umfänge Tangente Punkte bei der Kreuzung mit der gepunkteten circunferncia finden dobles.Posterioemente . Schließlich Umfänge tarzar.

Siebte Ausgabe

Wir werden erklären, wie die Tangente circunferncia zwei gerade getan und drehen noch ein Kreis tangiert dada.Podremos teilen dieses Problem in zwei:

1- Wir werden den Fall zu diskutieren, wo die gegebenen Kreis ist zwischen den Zeilen. Der erste Schritt ist, um beide Seiten einer der geraden Linien parallel zu einer Distanz gleich dem Radius des gegebenen circunferncia konstruieren, Anschließend finden die symmetrisch zur Mitte des Umfangs in Bezug auf die bisetriz der Winkel zwischen zwei Linien gebildet. Die gerade Linie, die den Mittelpunkt und seiner kurzen Gegenstück zu einer der geraden Linien in einem Punkt, von diesem Punkt ziehen wir Tangenten circunfercia Mitte und durch die Mitte des Gegenstücks. Dann zeichnen Sie einen Kreisbogen mit Mittelpunkt und machen durch die Berührungspunkte gefunden, so, was wir bekommen ist parallel zu dem ersten Gericht geschnitten an zwei Stellen gefunden, schließlich stand von diesen Punkten senkrecht zur Winkelhalbierenden Schnitt an zwei Punkten, Seren, die die Zentren der circunferncias buscadas.Para die beiden anderen circunferncias Lösung zu finden, um alles, was Sie tun müssen, ist den Vorgang wiederholen, wieder mit dem anderen parallel, so erhalten wir die vier Lösungen des Problems.

2- Es kann sein, dass die gegebenen Kreis tangential zu einer der geraden, daher vorgesehen werden, auf die gleiche Weise wie zuvor lösen, aber zwei der Kreise mit dem Paar Lösung externe Hilfs entsprechen ( wird in der gleichen Weise wie zuvor ausgeführt) und die anderen zwei Lösungen werden in einem Fall, wo zwei Linien schneiden reduziert, da wir wissen, in den Spalt eines.

Achte Problem:

In diesem Fall, das Problem des Apollonius ist Frist von zwei Kreisen und einer Linie, finden einen Kreis, der tangential zu den beiden Kreisen und Geraden ist.

Diese komplizierten Fall, acht Lösungen, Reduktion von bei einem Punkt erreicht (das Zentrum einer der Umfänge), eine Leitung (eine parallel zu der gegebenen) und einen Umfang (einem konzentrischen Kreis auf der linken Seite). Konzentrischen Umfänge der gegebenen Kreise haben einen Radius R r und rr Radien R und r gegebenen Umfang und parallel zu der geraden Abstand r in der gegebenen Linie aufgetragen.

So, diese vier Kreise erhalten wurden unter Berücksichtigung einer konzentrischen Kreis mit Radius R r; der vier Umfänge, zwei mit einem der parallelen und die anderen beiden mit dem anderen erhalten.

Diese vier Kreise sind jetzt unter Berücksichtigung Lösung erhalten einen konzentrischen Kreis mit dem Radius Rr und wieder, einer der zwei parallele und zwei mit dem anderen.

Hier ist die acht Lösungen in der gleichen Figur.

Neunte Ausgabe

Lassen Sie entwickeln die vorletzte Veranstaltung der zehn Probleme des Apollonius bevor das grundlegende Problem, in diesem Fall wird eine circunerencia die durch einen Punkt zu erläutern und ist tangential zu einem Kreis anstelle einer Zeile.

Je nach Anordnung der Daten haben wir vier Lösungen, aber in einigen Fällen nicht erreicht einem.

Um relizarlo müssen eine Reihe von Schritten folgen:

1. Die Linie ist die Investitionssumme der Umfang , es eine Linie, die senkrecht zu dieser Achse und durch die Mitte des jeweiligen circunferecia, so finden wir die Mitte des Kreises Investitionen( Punkt I in der Zeichnung).
2. Willkürliche Spur ein Kreis, der durch den gegebenen Punkt und die Punkte, die gerade geschnitten haben tarzado den Umfang und das Gegenstück gerade dadas.Hallamos gegebenen Punkt und auch den radikalen und radikalen Mittelachse.( Punkte P und Zeichnung p'en)
3. Wir verfolgen die Winkelhalbierende zwischen den Punkten P und P 'und da wirst du die Zentren der Kreise Lösung zu finden. Dann wird der Bogen in der Lage tarazamos 90 CR-O-Segment und damit an den Ort der Tangente T definieren.
4. Fokussiert auf CR und CR-T geschnitten Radius r in T1 und T2. Von T1 ar eine Mittelsenkrechte schneidet die PP’ in S2 und eine von T2 Schnitt senkrecht zur S1, Mittelpunkte der beiden Kreise Lösung.
5. So erhalten wir zwei Lösungen.

1. Um die beiden anderen Lösungen, die wir den negativen Investment Center berücksichtigen müssen erhalten und zu finden ". Arbitaria Wir zeichnete einen Kreis, der durch die Punkte verläuft A, A 'und P und dann wie in dem vorherigen Fall befindet sich der Mittelpunkt und die Achse in P'y Rest.
2. Wir können Bogensegments 90 CR-O, wodurch die Lage der Tangente T wie im vorherigen Fall cenro in CR und CR-T Umkreis finden die Berührungspunkte 3 und 4 um die Linie in zwei Punkten schneiden.
3. Zeichnen Sie die Mittelsenkrechte der Strecke PP '. Da T3 eine Linie Mittelsenkrechte schneidet ar PP'en S3 und andere senkrecht von T4 Schnitt in S4, Zentren der beiden anderen Kreise Lösung.

Tenth Problem.

Por último vamos a hablar del problema fudamental de Apolonio, in dem ein Kreis tangential zu drei. En este caso podemos obtener hasta ocho soluciones dependiendo la forma en la que se encuentren las tres circunferencias que nos dan. Wird wie folgt durchgeführt:

Lo primero que debemos hacer es hallar los seis centros de homotecia, drei innere und drei externe, der drei Kreise, die uns. Diese sechs Punkte zufällig auf vier Linien. Dann, was wir tun, ist eine von vier geraden und finden Sie die Stange auf den drei Kreisen, Anschließend trat die radikale Mitte des Kreises mit drei Pole und nutzen Sie die Berührungspunkte der Kreise mit Umfängen dadas.Lo gesucht Alles, was wir jetzt tun, ist es gut zu wählen unter den sechs Berührungspunkte gefunden zu zwei Kreisen Tangente zeichnen. Das Verfahren wir mit einem der geraden getan, was wir tun, mit den anderen drei um die acht Lösungen erhalten.

Es zeigt ein Bild davon, wie es wäre die letzte Lösung sein. Es ist ein bisschen kompliziert Durchführung dieser Übung, und das ist in diesem Bild deutlich.

Informationen erhalten von: “Geothesis” “Zonabarbieri” Bella und Geometrie.

Dieser Artikel wurde von den Studenten der School of Aerospace Engineering für eine innovative pädagogische Erfahrung geschrieben, um den Blog als Lehrmittel verwenden. Meine Anerkennung für seine Bemühungen um die Methoden in der Klasse in diesem Artikel arbeitete synthetisieren wurden nicht fast völlig außer Acht gelassen, in Form und Inhalt