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Metric geometry : Make hyperbolic circles

haz_hiperbolicoWhen you define a beam circumferences infinity as a set simply fulfilling a restriction based on the power, sorted the beams depending on the relative position of its elements.

Los haces de circunferencias hiperbólicos These families are among circumferences. Of the three existing (Elliptical, parabolic and hyperbolic) are those that offer greater difficulty in its conceptualization to come not defined waypoints. We will see how to determine elements that belong to them as it did in the previous cases.

Dadas dos circunferencias no secantes entre sí, the radical axis "and" of the circumferences es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. This line is perpendicular to the one containing the centers of the circumferences, y contiene a los centros de las circunferencias ortogonales (perpendicular) a las del haz.

Dadas dos circunferencias no secantes, podemos determinar una circunferencia ortogonal a ambas con centro el punto O de intersección entre su eje radical and y la recta base b que contiene a ambos centros. Point O se conoce con el nombre de centro del haz.

circunferencia_ortogonal

Para ello determinaremos la tangente desde O (beam center) a cualquiera de las circunferencias. Esta circunferencia es ortogonal a ambas por tener el radio igual a la raiz de la potencia desde O, y corta en dos puntos L1 and L2 a la recta base, denominados puntos límites, que son a su vez circunferencias del haz.

Las infinitas circunferencias de un haz de circunferencias hiperbólico son ortogonales a la que tiene su centro en el del haz, O, y radio la potencia desde este punto a cualquiera de las circunferencias. Los puntos límites son circunferencias del haz de radio nulo.

The radical axis of any two circles of this bundle is the line and.

Circunferencias_haz_hiperbolico

All centers of the circumferences of the bundle are in a straight, b, denominada straight beam foundation.

Determinar una circunferencia del haz hiperbólico que pasa por un punto P

From the endless circles of elliptical beam, only one pass through a given point. Let's see how to determine the center of a circle of the beam passing through a point P any.

circunferencia_punto

The circle will have its center sought O1 based on the straight line, b, y será ortogonal a cualquier circunferencia que pase por los puntos límites.

solucion_circunferencia_punto_haz_hiperbolico

Solution, its center, thus determined by the intersection of two loci, la recta base y el eje radical del punto de paso y una circunferencia ortogonal al haz (cualquiera de las que pasa por los puntos límites).

Determinar las circunferencias del haz hiperbólico que son tangentes a una recta dada

Tangency condition is determined by a straight t anyone who does not match with right or basis b or the radical axis and. El haz puede quedar definido por sus puntos límites L1 and L2 o por dos de las circunferencias que le pertenecen.

tangency

To solve the problem look for a point Cr, radical shaft and, have equal power with respect to the beam circumferences, and belonging, and the embroidery, to the line t already the latter is the center of the circumferences radical which are tangent. We see, that Cr is the radical center of the line t (infinite radius circumference) and parabolic beam circumferences.

solucion_tangencia

As shown in Figure, power Cr on all the circumference of the beam can be determined by finding the tangent (squared) any circumference of the beam (en este caso lla distancia a los puntos límites). This distance is to be also the points of tangency of the solutions sought. We have two solutions because we can take this away Cr-L1 on both sides of Cr on the line t.

Determinar las circunferencias del haz hiperbólio que son tangentes a una circunferencia dada

La generalización del problema la tenemos cuando la condición de tangencia es respecto de una circunferencia t any.

circunferencia_tangente

In this case, again, determine a point Cr que tenga igual potencia respecto de la circunferencia que marca la condición de tangencia y cualquiera de las del haz hiperbólico (por ejemplo los puntos límites), so it must be in its radical axis.

Centro_radical_circ_tangentes

The solutions pass through the points T1 and T2 located on tangents drawn from Cr, and which are at the root of the distance power that we have calculated as in the previous case.

solucion_c_tg

The centers of the solutions found aligned with the center of the circle t and corresponding contact points.

Make conjugate

Last, we can see in the figure below the conjugate beam (orthogonal) de un haz hiperbólico, that, as discussed later, es otro elíptico de recta base el eje radical del anterior. We see that los puntos límites del haz hiperbólico coinciden con los puntos fundamentales del elíptico.

conjugado_hiperbolico

Metric geometry

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