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Conic as Locus Centers Circumferences Tangents

We have seen that the study of conic can be made from different geometric approaches.

En particular, al iniciar el análisis de las cónicas hemos definido la elipse como lugar geométrico, we said that:

Ellipse is the locus of points in a plane whose sum of distances from two fixed points, called Spotlights, It has a constant value.

This metric definition of this curve allows us to address important study relating to the tangents circumferences, known as “Problem of Apollonius” in any of its versions. When we approach the study of the parabola or hyperbola return to reframe the problem to generalize these concepts and reduce problems “fundamental problem of tangents in the case straight“, or “fundamental problem of tangents in the case circumference“, namely, determining a circumference of a “Make corradical” a tangency condition.

Supongamos, aplicando la definición anterior de la elipse, que los puntos fijos son F1 and F2. Estos puntos son los focos de la elipse. Supongamos además que la cónica se termina de definir por la condición de paso por un punto dado P.

Según la definición anterior la suma de distancias desde P a los dos focos debe ser constante. Llamaremos a esa suma “2to”.

ρ1 + ρ2 = 2a = constante

Si llevamos el segmento ρ2 a continuación del punto P según la dirección del segmento ρ1, obtendremos un puntoSF2que dista del foco F1 el valor2to“.

Al obtener todos los puntos de la cónica, como la suma de distancias a los focos es2to“, los puntos similares alSF2se encontrarán a esa distancia (2to) del foco F1, por lo que se encontrarán en una circunferencia denominadaCircunferencia focal de la elipse“.

 

La circunferencia focal de una cónica es aquella circunferencia que tiene su centro en uno de sus focos y su radio es igual a la distancia entre los vértices de la cónica (2to)

Como la distancia del punto P al foco F2 que no es centro de la focal, es la misma que al puntoSF2”, circumference que tiene su centro en el punto P y radio el valorρ2” will pass by “SF2punto de la circunferencia focal, pero como además los centros “F1” de la focal y “P” de esta nueva circunferencia se encuentran alineados con el punto común de ambasSF2”, este punto es de tangencia entre las dos circunferencias, lo que nos permite concluir que:

Los puntos de una elipse son los centros de las circunferencias que siendo tangentes a la circunferencia focal, pasan por el otro foco.

Esta definición de la cónica nos permite abordar los problemas de determinación de tangentes y puntos de paso o tangencia a la cónica mediante la solución de problemas de tangencias.

For example, determinar los puntos de intersección de una recta con una cónica es determinar las circunferencias que tienen su centro sobre la recta, pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal. Al tener su centro sobre la recta y pasar por un foco, pasarán por el simétrico de dicho foco respecto de la recta y el problema se reducirá a buscar circunferencias que pasando por dos puntos (foco y simétrico) son tangentes a la focal, namely, dos puntos de paso (pertenencia a un haz elíptico) y una condición de tangencia respecto de la circunferencia focal: Problema fundamental de tangencias.

Igual que obtenemos los puntos de una recta podemos relacionar las tangentes y los puntos de tangencia como se aprecia en la siguiente figura. Al ser la rectartangente a la cónica, se puede deducir que esla bisectrizde los radios focales ρ1 and ρ2, como veremos más adelante.

¿Serías capaz de deducirlo tú?

Metric geometry

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