내 학생들이 기하학 수업에서 작성한 가장 완벽한 기사 중 하나는 소위 문제를 해결하는 방법을 설명하는 기사입니다. “아폴로 니 오 스의 문제”.
접선에 기반한 기하학적 제한에 의해 정의되는 원이나 선의 결정은 큰 관심을 끄는 기하학적 문제군을 구성합니다..
El grupo “AG-우리는 병아리가 아닙니다” 이 문제를 정확하고 엄격하게 소개합니다.. 원래 출판 여기에, 에 속하는 체험단 “실험 블로그”, 나는 기사를 문자 그대로 옮겨 적는다, 텍스트를 보완하는 일부 링크 추가. 감사합니다 디에고, 알리시아, 클라라, 사라와 세르지오
아폴로와 그의 열 문제
전기:
아폴로니오의 이론과 문제를 전개하기 전에 우리는 아폴로니오의 간략한 전기를 제시할 것입니다. 아폴로 니 오 스.
Apolonio era un matemático griego nacido en Perge(262 a.C.- 190 a.C.),fue discípulo de Arquímedes. Tampoco se sabe sobre su vida excepto por las introducciones que hacía en algunos de sus tratados de los que se compone su gran obra “Las cónicas” en el que se utilizan por primera vez los términos: “elipse, parábola e hipérbola“. También descúbrió y describió los “Epiciclos” con los que Ptolomeo utilizaria para explicar el movimiento de los planetas. Según los historiadores Apolonio tenía un carácter irascible lo que le hacía de un trato difícil.
Entre las obras geométricas de Apolonio de Perga destacan “Los Lugares Planos” 기하학적 레이아웃에서 알아야 할 가장 중요한 작업은 다음과 같은 분석 기하학에 가까운 현대 언어로 개발됩니다.: 동질성, 번역, 투자, 회전 및 유사성.
책에서 얻은 정보: “기술 도면” 안토니오 L. 블랑코. “위키 백과”
기하학에 대한 아폴로니오의 주요 공헌 중 하나는 접선 문제를 체계적으로 제안한 것입니다., 다음 진술에 요약되어 있습니다.:
"할 수 있는 세 가지 객체가 주어지면, 그들 각각, 포인트, 선 또는 원, 3에 접하는 원을 그립니다..
이러한 요소의 순열에서 파생되는 다양한 접선 문제는 잘 알려진 고전 기하학 사례 연구를 야기합니다., con las diferentes propuestas de solución que se han ido elaborando a lo largo de la historia.
Se destacan 10 경우:
- tres puntos,
- tres rectas,
- dos puntos y una recta,
- dos rectas y un punto,
- dos puntos y una circunferencia,
- dos circunferencias y un punto,
- dos rectas y una circunferencia,
- dos circunferencias y una recta,
- 한 점, una recta y una circunferencia
- tres circunferencias.
Otra de las aportaciones fundamentales de Apolonio, son Las Cónicas.
Las secciones cónicas ya eran conocidas cuando Apolonio realizo el estudio de estas, pero su tratado deja atrás al resto de teorías. Anteriormente a Apolonio se creía que la hipérbola, la parábola, y la elipse se obtenían de secciones de conos diferentes de acuerdo con el ángulo del vértice.
그래서, Apolonio demostró que estas curvas pueden obtenerse de las secciones de un mismo cono, variando la inclinación del plano que corta a este. 원뿔이 직선 원뿔일 필요는 없음을 인증하는 것 외에도, 원형일 수 있다, 부등변 또는 경사.
게다가 원추형 곡선은 흥미로운 특성을 가지고 있습니다..
Apollonius가 발견한 가장 중요한 속성 중 하나는 반사 속성입니다..
비유의 반영: 포물선 거울을 사용하여 멀리 있는 광원에서 빛을 받으면, 입사 광선이 거울 축과 평행하도록, 그러면 거울에 반사된 빛이 초점에 집중됩니다..
전설에 따르면 아르키메데스는, 아폴로니우스와 동시대 인물, 그는 이 재산을 사용하여 배를 불태워 로마인으로부터 시러큐스를 방어했습니다.. 이를 위해, 태양 광선을 로마 선박에 집중시키는 포물선 거울 시스템을 제조했습니다..
오늘날 이 부동산은 다음과 같은 다양한 용도로 사용됩니다.: 레이더 시스템, 텔레비전 안테나 또는 태양광 거울, 그 중에서도.
타원의 반사: 광원이 타원형 거울의 초점에 놓이는 경우, 그러면 거울에 반사된 빛은 다른 초점에 집중됩니다..
즉, 광선이 초점 중 하나에서 시작되는 경우, 타원에 반사되면 광선은 다른 초점을 통과하는 경로를 따릅니다..
이 속성을 기반으로, 타원 모양의 당구대가 있는지 확인할 수 있습니다., 그리고 우리는 초점 중 하나에서 공을 던집니다., 어떤 주소로든, 그것은 게임 테이블에서 튕겨져 나와 다른 초점을 통과할 것입니다..
공이 계속해서 튀면 첫 번째 초점을 다시 통과하게 됩니다., y así sucesivamente, 공의 궤적이 타원의 장반경과 혼동되는 순간이 올 때까지.
대신에 초점 중 하나가 아니거나 초점을 연결하는 선 중 하나가 아닌 다른 지점에서 공을 던지면, 공의 궤적 부분은 또 다른 타원의 모습을 묘사합니다..
그리고 대신, 공의 시작점이 초점을 연결하는 선상의 한 점인 경우, 그러면 동일한 초점을 가진 쌍곡선의 봉투가 그려집니다..
타원형 지붕이 있는 방의 구조가 궁금합니다.. 조명 중 하나에서 소리를 방출하여, 이것은 다른 초점에서 완전히 명확하게 들릴 것입니다. 더욱이 소리를 방출하는 방향에 관계없이 소리가 한 초점에서 다른 초점으로 전송되는 데 동일한 시간이 걸립니다.. 이 효과는 방음실에도 적용됩니다..
쌍곡선 반사: 쌍곡선의 초점 중 하나에서 나오는 광선이 반사되어 반사된 광선이 다른 초점에서 나오는 것처럼 보입니다..
이 속성은 다음을 생성하는 데 사용되었습니다. 로란, 이는 지금까지 사용되어 왔고 계속 사용되고 있는 무선 전기 쌍곡선 항법 장치입니다., 물론 등장으로 인해 그 정도는 덜하지만 GPS 그리고 다른 시스템, 배와 비행기의 위치를 고정하기 위해.
Se fundamenta en el calculo de la diferencia de tiempo con que se obtienen en un receptor las señales que se originan en las dos estaciones emisoras localizadas en la superficie terrestre.
Como el posicionamiento se realiza en dos dimensiones, si se sabe la diferencia de las distancias a las dos estaciones se puede localizar el lugar geométrico de los puntos, en que se puede encontrar el barco o el avión, que es una hipérbola cuyos focos son las estaciones.
Conociendo la intersección de dos o más hipérbolas es posible definir la posición del avión o barco.
LOS DIEZ PROBLEMAS DE APOLONIO
A continuación vamos a tratar los 10 problemas fundamentales de Apolonio, los cuales están basados en las tangencias entre rectas y circunferencias.
주요 문제에 대해 이야기를 시작해 보겠습니다., 다른 모든 사건이 해결되었습니다., 즉, 그것들 모두는 궁극적으로 다른 것에 접하고 두 점을 통과하는 원으로 축소되어야 합니다.. 가장 어려운 문제는 다른 세 개의 원에 접하는 원을 만드는 것입니다..
첫 번째와 두 번째 문제
이 문제 이전에 쉽게 할 수 있는 일이 있습니다., 어느 것: 세 점을 지나는 원을 그리세요(PPP) 그리고 두 점을 지나고 선에 접하는 원을 그린다.(PPR). 아래에 나와 있습니다.:
세 점을 지나는 둘레.
선에 접하고 두 점을 통과하는 원주
세 번째 문제
이제 우리는 원이 다른 원에 접하고 두 점을 통과하는 경우에 초점을 맞출 것입니다.. 이를 해결하는 단계는 다음과 같습니다.
- 주어진 점을 연결하는 세그먼트의 이등분선을 찾습니다., 우리가 찾고 있는 원의 중심이 그 안에 있어야 합니다..
- 우리는 점들을 연결하는 선이 우리가 찾고 있는 모든 원의 기본 축이 될 것이라는 것을 알고 있습니다..
- 다음으로 점을 통과하고 주어진 원을 자르는 보조 원을 그리고 두 원의 교차점을 연결하는 선을 그립니다.. 이 선과 두 점을 연결한 선의 교차점 (급진적인 축) 우리는 급진적인 중심을 찾았습니다.
- 우리는 근중심에서 주어진 원까지의 접선을 찾습니다., esos puntos de tangencia también serán de las circunferencias que estamos buscando.
- Por último unimos los puntos de tangencia con el centro de la circunferencia y donde corte a la mediatriz de los puntos dados obtendremos los centros de las circunferencias solución.
Cuarto problema
Vamos a continuar con el caso de una circunferencia tangente a tres rectas, en este caso habrá cuatro soluciones posibles, como se mostrará a continuación con la imagen.
El Procedimiento es sencillo:
-Como debemos saber el centro de las circunferencias deberá encontrarse en las bisectrices interiores y exteriores que forman las tres rectas. Produciéndose las circunferencias buscadas en las intersecciones de estas rectas.
Quinto problema
El siguiente caso a explicar a a ser una circunferencia tangente a dos rectas y la cual pasa por un punto.
Dentro de este caso deberemos de hablar de varias posibilidades:
1- Si las rectas se cortan y el punto se encuentra entre ellas:
En este primer caso lo que haremos será hllar la bisectriz del ángulo que forman y hallar el homólogo del punto dado, con lo cual el problema queda reducido a una circunferencia tangente a una recta y que pasa por dos puntos
( explicado anteriormente).
2-: Puede ocurrir que el punto dado pertenezca a una de las rectas dadas:
En este segundo caso lo que hacemos es trazar las bisectrices de los dos áangulos que forman las dos rectas y por el punto dado trazamos una perpendicular a la recta que lo contiene la cual cortará alas bisectrices en los puntos buscados, es decir los centros de las circunferencias.
3: Por último hablaremos de la posibilidad de que las dos rectas dadas sean paralelas.
El punto A sabemos que se encuentra comprendido entre ambas rectas, por lo que trazamos una circunferencia con centro A y diámetro igual a la distancia entre las rectas. De esta forma obtenemos los centros de las dos soluciones en la intersección con la paralela media. El punto también puede encontarse en una recta dada como es el caso del punto B , por lo que hallamos el centro de la circunferencia solución como intersección de la paralela media y la perpendicular a cualquiera de las dos rectas paralelas por dicho punto B.
Se muestra a continuación:
Sexto problema
Este problema esta basado en hacer una circunferencia tangente a otras dos y que a la vez pase por un punto..Tendremos cuatro soluciones posibles.
Consideramos el punto que nos dan como centro de inversión y tomando una de las dos circunferencias, como circunferencia de autoinversión, 다음으로 이중 점의 원을 그립니다. 그리고 나중에 우리는 반전 원을 찾습니다. 주어진 원에 대한 접선은 해 원의 역수이며 이중 점 원과의 교차점에 접선 지점도 포함합니다. 나중에 우리는 주어진 점과 접선점을 연결하는 이등분선을 찾습니다. 이런 식으로 우리는 4개의 해 중심을 찾을 수 있습니다.. 마지막으로 원을 그립니다..
일곱 번째 문제
우리는 원이 두 개의 선에 접하도록 하고 그 선이 또 다른 주어진 원에 접하도록 만드는 방법을 설명할 것입니다. 우리는 이 문제를 두 가지로 나눌 수 있습니다:
1- Hablaremos del caso en que la circunferencia dada se encuentra comprendida entre las rectas. El primer paso es construir a ambos lados de una de las rectas rectas paralelas a una distancia igual que el radio de la circunferncia dada, a continuación hallamos el simétrico del centro de dicha circunferencia respecto de la bisetriz del ángulo formado por las dos rectas. La recta que une el centro y su homólogo corta a una de las rectas trazadas en un punto, desde ese punto trazamos las tangentes a la circunfercia de centro y que pasa por el homólogo de dicha centro. A continuación trazamos un arco de circunferencia con centro el punto hallado y haciendo que pase por los puntos de tangencia, asi lo que conseguimos es que corte a la paralela hallada primera la corte en dos puntos, por último levantamos perpendiculares desde dichos puntos cortando a la bisectriz en dos puntos, los cuales serén los centros de las circunferncias buscadas.Para poder encontrar las otras dos circunferncias solución lo único que hay que hacer es repetir el proceso de nuevo con la otra paralela, así obtendremos las cuatro soluciones del problema.
2- Puede ocurrir que la circunferencia dada sea tangente a una de las rectas, por lo que para resolverlo se hace de la misma manera que antes, pero dos de las circunferencias solución corresponderán a la pareja auxiliar exterior ( se realiza de la misma forma que antes) 다른 두 솔루션은 두 선이 교차하는 경우로 축소됩니다., 우리는 그들 중 하나의 접선 지점을 알고 있기 때문에.
여덟 번째 문제:
이 경우, 아폴로니오의 문제는 다음과 같다. 두 개의 원과 선이 주어졌을 때, 두 원과 직선에 접하는 원을 찾으세요..
이 복잡한 사건, 8가지 솔루션으로, 점의 경우로 축소하여 해결됩니다. (원 중 하나의 중심), 직선 (주어진 것과 평행한 것) 그리고 원 (주어진 원과 동심인 원). 주어진 원 중 하나에 동심원인 원은 반지름 R+r 및 R-r을 가지며, R과 r은 주어진 원의 반지름이고 선에 평행한 원은 주어진 선으로부터 거리 r만큼 떨어져 그려집니다..
그래서, 이 4개의 원은 반경 R+r의 동심원을 고려하여 얻은 것입니다.; 네 개의 원 중, 두 개는 평행선 중 하나를 사용하여 얻고 다른 두 개는 다른 하나를 사용하여 얻습니다..
이 4개의 해법 원은 이제 반경 R-r의 동심원을 고려하여 얻어집니다., 두 개는 평행선 중 하나에 있고 두 개는 다른 평행선에 있습니다..
여기서는 동일한 그림에서 8가지 솔루션을 볼 수 있습니다..
아홉 번째 문제
우리는 근본적인 문제에 도달하기 전에 아폴로니우스의 10가지 문제의 두 번째 사례를 전개할 것입니다., 이번 경우에는 점을 통과하고 원과 선 모두에 접하는 원에 대해 설명하겠습니다..
Dependiendo de la colocación de los datos podemos tener cuatro soluciones pero en algunos casos no se llega a ninguna.
Para relizarlo hay que seguir una serie de pasos:
- La recta es la figura de inversión de la circunferencia , hallamos una recta perpendicular a dicha recta y que pase por el centro de la circunferecia dada, así hallamos el centro de la circunferencia inversión( punto I en el dibujo).
- Trazamos una circunferencia arbitraria que pasa por el punto dado y por los puntos que corta la recta que hemos tarzado a la circunferencia y a la recta dadas.Hallamos el homólogo del punto dado y también el eje radical y centro radical.( puntos P y P´en el dibujo)
- Trazamos la mediatriz entre los puntos P y P´ y allí se encontrará los centros de las circunferencias solución. A continuación tarazamos el arco capaz de 90º del segmento CR-O y con ello conseguimos definir el lugar de tangencia T.
- Centrado en CR y con radio CR-T cortamos r en T1 y T2. Desde T1 una recta perpendicular a r corta la mediatriz de PP’ en S2 y otra perpendicular desde T2 cortará en S1, centros de las dos circunferencias solución.
- De este modo obtenemos dos soluciones.
- Para poder obtener las otras dos soluciones debemos de considerar el centro de inversión negativo y hallar A´.Trazamos una circunferencia arbitaria que pase por los puntos A, A'와 P 그리고 이전 사례와 마찬가지로 중심축과 근축에서 P'y 점을 찾습니다..
- CR-O 세그먼트의 90°가 가능한 호를 만듭니다., 따라서 접선 T의 위치를 얻고 이전 경우와 마찬가지로 CR을 중심으로 하고 반경 CR-T를 사용하여 접선 지점을 찾습니다. 3 과 4 두 지점에서 선을 자르는 경우.
- PP' 세그먼트의 이등분선을 그립니다.. T3에서 r에 수직인 선은 S3에서 PP'의 이등분선을 자르고 T4에서 또 다른 수직선은 S4에서 절단됩니다., 다른 두 원 해의 중심.
열번째 문제.
마지막으로 아폴로니오의 근본적인 문제에 대해 이야기하겠습니다., 원은 다른 세 개와 접해야 합니다.. En este caso podemos obtener hasta ocho soluciones dependiendo la forma en la que se encuentren las tres circunferencias que nos dan. Se realiza de la siguiente manera:
Lo primero que debemos hacer es hallar los seis centros de homotecia, tres internos y tres externos, de las tres circunferencias que nos dan. Estos seis puntos resultan estar en cuatro rectas. A continuación lo que hacemos es coger una de estas cuatro rectas y hallamos el polo respecto de las tres circunferencias, 나중에 우리는 원의 중심을 세 개의 극과 연결하고 주어진 원으로 구한 원의 접선점을 얻습니다. 이제 우리가 해야 할 일은 두 개의 접선 원을 그리기 위해 찾은 6개의 접선 점 중에서 잘 선택하는 것입니다.. 우리가 직선 중 하나를 사용하여 수행한 이 절차는, 8가지 솔루션을 얻으려면 나머지 3가지 솔루션을 함께 수행해야 합니다..
최종 솔루션이 어떤 것인지 보여주는 이미지가 표시됩니다.. 이 연습을 수행하는 것은 약간 복잡하며 이는 이 그림에서 분명하게 드러납니다..
다음에서 얻은 정보: “기하학” “구역 이발사” 그리고 아름다운 기하학.
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