El concepto de polaridad se encuentra ligado al de separación armónica.
Este concepto es básico para la determinación de los elementos fundamentales de las cónicas, como su centro, diámetros conjugados, ejes ….
Permitirá establecer nuevas transformaciones entre las que se incluyen homografías y correlaciones de gran importancia.
Una de las figuras geométricas más utilizadas en la geometría proyectiva es la del “Cuadrivértice Completo”, o su dual “Cuadrilátero Completo”.
De forma general, un cuadrivértice está formado por cuatro puntos, por lo que en el plano esta figura tiene 8 grados de libertad (2 coordenadas por cada vértice) y serán necesarias 8 restricciones para determinar uno concreto.
Los modelos teóricos de la geometría proyectiva se pueden utilizar proponiendo problemas que no sean de aplicación directa. Tendremos que “vestir” por lo tanto los ejercicios para inferir en el alumno un mayor análisis y un tratamiento transversal del conocimiento: ¿Puedo aplicar lo aprendido para resolver este problema?.
Tras analizar en detalle las operaciones con series superpuestas de segundo orden, vamos a ver un ejemplo de aplicación que no consiste en obtener nuevas tangentes o puntos de tangencia de una cónica.
Las transformaciones involutivas son aplicaciones biyectivas de gran interés para ser aplicadas en construcciones geométricas, ya que las simplifican notablemente.
Veremos cómo se define una involución en series de segundo orden, con base una cónica, comparándo el nuevo modelo de transformación con las series superpuestas de segundo orden estudiadas previamente.
En geometría hablamos con mucha frecuencia con términos que, en algunos casos, no están suficientemente popularizados en el lenguaje cotidiano. Ello lleva a crear barreras en la interpretación de algunos conceptos sencillos.
Uno de los términos que más veces me han preguntado en clase es el de “Involución”. Definamos la involución.
¿Qué es una involución?
Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar los haces superpuestos de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de puntos de tangencia en las tangentes de una cónica definida mediante cinco tangentes o cinco restricciones mediante la combinación de tangentes y puntos con sus respectivas tangentes. Veremos la aplicación del Punto de Brianchon en este tipo de problemas
Para estudiar la cónica tangencial, y en particular las proyectividades entre haces de segundo orden superpuestos sobre una misma curva, podemos apoyarnos en el estudio dual del realizado con las series superpuestas de segundo orden.
Los conceptos proyectivos que hemos desarrollado al estudiar las series superpuestas de segundo orden, cuya base es una cónica, permiten solucionar problemas de determinación de tangentes en puntos de una cónica definida mediante cinco puntos o cinco restricciones mediante la combinación de puntos y tangentes con sus respectivos puntos de tangencia.
Aansoek “GeoGebra” dinamiese konstruksies in wat ons kan die posisie van die elemente wat deel vorm verander kan ontwikkel, handhawing geometriese beperkings van hierdie syfers, sodat die invarianten van dieselfde te wys. Hierdie instrument kan 'n waardevolle hulpmiddel vir ons studente te wees.
Professor Juan Alonso Alriols het saam in die inleiding van hierdie instrument in die onderrig van “Expresión Gráfica” Politegnikum Universiteit van Madrid, die verskaffing van voorbeelde van hoë rente. 'N voorbeeld van sy werk kan in die gesien word “Dynamic Konstruksie van dubbele verhouding van vier punte” gepaardgaande hierdie post, wat bygevoeg het 'n teks bestuurder vir gebruik in ons klasse.
Ons het gesien hoe die definisie van items bestel vervierdubbel, wat kenmerkend vier punte van 'n reguit vier reguit reeks of 'n bondel van vliegtuie deur 'n waarde of funksie, gevolg van die verkryging van die verhouding van twee elemente bepaal deur gesê drieklanke.
Hier het ons oorweeg om die probleem van die verkryging van, kry drie elemente wat deel uitmaak van dieselfde vorm van notch, reeks of ', kry 'n vierde element bepaling van 'n viertal van besondere waarde.
Vamos a resolver un sencillo problema planteado anteriormente en el que deberemos determinar un lugar geométrico básico para la determinación de su solución, un problema en el que hay que encontrar un punto del plano que cumpla unas condiciones geométricas dadas.
La intersección de dos lugares geométricos planos nos determinará un número finito de puntos que serán las posibles soluciones del problema.
