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Problem of Apollonius : ccc

Any of the problems of tangents that are included under the name "Apolonio problems" can be reduced to one of the variants studied the most basic of them all: the fundamental problem of tangents (PFT).

En todos estos problemas nos plantearemos como objetivo fundamental simplificar el problema que se proponga a uno de estos casos fundamentales, mediante el cambio de las restricciones que lo definen a otras basadas en conceptos de ortogonalidad y/o diametralidad.

In this case we will study what we call "Apolonio Case ccc", namely, If the problem of tangents in which the data are given by conditions tangents three circumferences (ccc).

We can thus stated the problem as follows:

Determinar las circunferencias que son tangentes a tres circunferencias.

De las 8 posibles soluciones que tiene este problema en el caso más general, analizaremos el caso más sencillo representado en la siguiente figura en la que t1 y t2 son las soluciones buscadas y c1, c2 y c3 los datos de partida.

Supongamos el caso en el que las tres circunferencias dato tienen diferente diámetro y no se cortan entre sí, siendo exteriores cada una a las otras dos.

los centros de inversión positivos de dos circunferencias son los de homotecia que las relacionan. En la figura I12 es el centro de inversión entre las circunferencias C1 y C2, siendo e1 su circunferencia de autoinversión (radio la raíz de la potencia de inversión).

La circunferencias tangentes a C1 y C2 (isogonales), como las buscadas, serán dobles en esta inversión y por lo tanto serán ortogonales a e1, circumference autoinversión.

Las tres circunferencias de autoinversión se encuentran en un haz elíptico de circunferencias, por lo que las circunferencias dobles en las inversiones descritas deberán ser ortogonales a estas circunferencias de autoinversión y por lo tanto pertenecer al haz conjugado, en este caso un haz hiperbólico de circunferencias.

Circumferences sought will therefore centered on the root axis of the elliptical beam formed by the circumferences self inverting, and will radically axis straight above the base beam.

We find therefore a hyperbolic beam circumference cutoff points L1 and L2, key points of the elliptical beam, It is tangent to any data circumferences. For example C1.

We have reduced the problem to determine a circumference of a beam that is tangent to another circle: Generalization of the Fundamental Problem Tangencies.

To solve the problem will determine the Radical Center, CR, de las circunferencias del haz al que pertenece la solución y de la circunferencia que establece la condición de tangencia.

Los puntos de tangencia los obtendremos determinando la potencia de dicho centro respecto de la circunferencia dato o, which is the same, obteniendo la circunferencia de centro el centro radical que es ortogonal a la circunferencia dato . Los puntos T1 y T2 son los de corte entre estas circunferencias.

Los centros de las soluciones se encontrarán en la recta base del haz hiperbólico al que pertenecen las soluciones y alineados con los puntos de tangencia y el centro de la circunferencia dato (ya que dos circunferencias tangentes tienen alineados sus centros y el punto de tangencia).

 

La solución puede comprobarse que es tangente a las tres circunferencias dato.

 

Metric geometry

 

 

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