Conceitos projetivos que desenvolvemos em estudar o vigas sobrepostas de segunda ordem, cuja base é uma cónica, Eles permitem para resolver problemas de determinação dos pontos de contacto na tangente de um Cônica definida por cinco tangente ou cinco restrições através da combinação de tangente e com seus respectivos pontos tangentes.
Para resolver este tipo de problemas vamos lembrar que dado dois feixes de segunda ordem, Quando eles seccionamento de dois homólogos elementos são obtidos série de perspectivas que projetadas para o centro projetivo feixes (Ponto de Brianchon). Na figura a seguir, os pontos homólogos um.’ Eles determinam o ponto duplo da série perspectivas, Enquanto o AB'-a 'B-Ca' para ' C projetou as linhas retas 1 e 2 que contêm respectivamente o seu centro em perspectiva (“V” É o centro projetivo de feixes de segunda ordem acima mencionados)
Modelo geral para ponto de Brianchon
Homólogo de raios que servem como bases para estas séries de perspectivas podem ser qualquer um dos três pares que definem o é entre os feixes de segunda ordem. Podemos ver que, se cortarmos de todos eles temos três seguidas (1,2 e 3) contendo-lo para o ponto de Brianchon, da qual as linhas duplas ser desenhada (tangente se qualquer) feixes (Se este ponto é interior cónico será imaginário).
Centro de Brianchon ponto de tangência
O modelo exposto projetivo permite relacionar a tangente do cone com seus pontos de tangência, pensando que um ponto de tangência é a interseção de dois tangente infinitamente fechar.
Por exemplo, Se nos movermos linha tangente “c” da figura acima para coincidir com a linha reta “b'” mantendo as restrições geométricas desta figura, Teremos de b-c’ Tornou-se um ponto de tangência que pertencerá à recta “3” passando pelo centro do projetivo “V”.
Ponto de Brianchon com um ponto de tangência
Ponto de Brianchon com dois pontos de tangência
Combinando um segundo par de tangentes como b-c’ (Também poderia ser um-c’ ou ’-c) Obteremos uma variante do modelo anterior, mas neste caso com dois pontos de tangência.
Ponto de Brianchon com dois pontos de tangência
Ponto de Brianchon com três pontos de contacto
Se concordarmos em dois três tangentes, por exemplo um-c ', b-a’ e c-b ’, Teremos três pontos das tangentes nesta variante do modelo geral. Você pode usar outras combinações das tangentes, Mas terá que usar cada par, um de cada dos feixes e em qualquer caso dois homólogos (como um-a. ’, b-b’ ou c-c ’).
Ponto de Brianchon com três pontos de contacto
Declaração de questões
Estes números permitem-nos apresentar problemas de determinação dos pontos de contacto nas tangentes que determinam a cônica, conforme mostrado no exemplo, o leitor deixando a resolução dos restantes.
Os problemas que podem surgir, entendendo o Conic como envelope de tangente, sua:
- Dada uma cônica cinco tangente, determinar o ponto de tangência em um deles.
- Dada uma tangente com o seu ponto de contato e três adicionais tangente de uma cônica, determinar o ponto de contato em outro as tangentes.
- Dado dois tangente com seus respectivos pontos de contacto e uma tangente adicional, determinar que o ponto de contacto é tangente.
Aplicación a la resolución de problemas
Vamos resolver os problemas levantados por exemplo o primeiro:
Tendo em conta as linhas retas p, q, r, s e t tangente a uma cônica, determinar o ponto “T” entrar em contato com o reto “t“.
1.-Determinação da figura da análise do pedido
Usaremos como uma figura de análise para resolver o problema que nós temos marcados como “Ponto de Brianchon com um ponto de tangência”, como esta variante do “Modelo geral” Nós temos um ponto de contato em um das tangentes.
2.- Alocação dos rótulos correspondentes
Primeiro vamos proceder para identificar as linhas retas da formulação do problema com a tangente à análise de figura cónica, levando em conta que, neste caso, Nós atribuímos a cada feixe de segunda ordem direto para o reto “t” em que queremos encontrar o ponto de contato.
3.- Determinação da é
Uma vez determinado os elementos das vigas, Obtemos o projetivo centralizá-las (Ponto de Brianchon).
4.- Resolvendo o problema
Finalmente, determinar o ponto de tangência, sabendo que este, ponto B'C, Ele será exibido no centro projetivo com o seu homólogo ponto BC’
Da mesma forma, podemos resolver os casos restantes dois.
Você pode resolvê-los?
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