O transformações involutionary bijective de aplicações de grande interesse são para ser usado em construções geométricas, desde que eles simplificam consideravelmente.
Vamos ver como definido uma involução na série de segunda ordem, com base de uma cônica, Comparando o novo modelo de transformação projetiva com as estudadas no chamado sobreposição de séries de segunda ordem .
Vamos lembrar que ao determinar o é entre duas séries sobrepostas de segunda ordem (base de um comum cónico) Começamos com três pontos, A, B a C, e os seus respectivos homólogos: Um ', B’ y C '.
Para projetar o otraserie elementos de dois pontos homólogos tem perspectiva de fazer cujo eixo de perspectiva foi eixo série projetivo, chamado “Direto do Pascal”.
Para definir uma involução enseries de segunda ordem terá de relacionar dois pares de pontos só. Na figura a involução é determinada por pares de elementos homólogos um.’ e b-b’
Isso não significa que nós estão determinando uma cônica por quatro pontos, Mas que, dado qualquer Cone, Se tomamos quatro pontos podemos determinar uma involução dos pontos. Analogamente, no caso de sobreposição de série anterior, Nós não estávamos definindo o Conic por seis pontos, Nós simplesmente residual-los proyectivamente.
Para nos dizer que os pontos de um.’ e b-b’ Eles estão em involução, Eles estão nos dizendo que há uma correspondência dual entre eles de forma que, Se considerarmos que a sobre B’ Há um outro sistema que podemos chamar “C”, sua transformada C’ Você vai ser na mesma posição como ponto B.
Podíamos repetir essa idéia com um ponto, Embora não seja necessário desde que convertemos o problema de determinar os elementos da é o caso bem conhecido, mencionado no início, sobreposição de séries de segunda ordem.
Podemos determinar, portanto, o projetivo como o eixo anterior caso, projeção de um ponto A e o seu homólogo A’ pontos B ’-C’ e B-C para determinar a perspectiva de dois pacotes. Este eixo projetivo é referido como “Eixo de involução“
Eixo de involução
Esta linha será muito útil para operar com o cónico.
Podemos nos perguntar algum problema de aplicação imediata, Como pode ser para obter um novo, ou o transformado o quinto ponto que completa a definição do Conic.
Se a contraparte do ponto “X” na involução definida pelos pares de pontos homólogos por r. ’, B-B’
A figura tem sido representado o eixo de involução que calculamos anteriormente, eliminando caminhos para simplificar a imagem
Operamos como é o caso da série sobreposição de segunda ordem, projetando o ponto de V ’ = para e encontrar homóloga feixe perspectiva Ray que é aparada no eixo projetivo (Item (J)) e vai precisar por vértice V = para ’.
O ponto pesquisado será, portanto, a reta a-j. Temos de repetir este procedimento, projeção de B e B’ para localizar uma linha reta nova, em que o ponto procurado é (Interseção de dois loci).
Por favor note que, apesar de nós ter representado a conicidade para facilitar a interpretação da geometria em análise, Esta curva não está disponível em nossos caminhos
Nós determinamos o “Eixo de involução” e nós usamos isto para determinar elementos homólogos na transformação projetiva definido pelo. Veremos novas propriedades e seu uso na determinação dos elementos principais do Conic, centro, diâmetros, eixos, para avançar no estudo associado a esta transformação interessante.
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