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Método de la falsa posición. Aplicación de series superpuestas de segundo orden.

Ejemplo_superpuestas_segundo_ordenLos modelos teóricos de la geometría proyectiva se pueden utilizar proponiendo problemas que no sean de aplicación directa. Tendremos que “vestir” por lo tanto los ejercicios para inferir en el alumno un mayor análisis y un tratamiento transversal del conocimiento: ¿Puedo aplicar lo aprendido para resolver este problema?.

Esta generalización de la aplicación de los conceptos a la resolución de casos diversos constituye la última etapa formativa en el aprendizaje de cualquier disciplina.

El profesor Juan Alonso Alriols nos presenta un artículo con una propuesta de ejercicio en el que la geometría proyectiva muestra su fortaleza, decorándolo con una construcción dinámica con GeoGebra, como la utilizada en otro de sus artículos “Construcción dinámica de una cuaterna de puntos“. Una magnífica aportación que añadiremos al conjunto de temas de “Geometría Proyectiva

Método de la falsa posición. Aplicación de series superpuestas de segundo orden.

Por Juan Alonso Alriols

Tras analizar en detalle las operaciones con series superpuestas de segundo orden, vamos a ver un ejemplo de aplicación que no consiste en obtener nuevas tangentes o puntos de tangencia de una cónica.

Falsa posición_Enunciado

El problema propuesto es encontrar el triángulo inscrito en una circunferencia cuyos lados pasen por tres puntos dados (P1, P2, P3) según aparece en la figura.

Falsa posición_Sol

Para resolverlo vamos a coger un punto A de la circunferencia y trazar 3 segmentos encadenados que pasen respectivamente por P1, P2 y P3. Como no hemos acertado a colocar A1 en la posición correcta, hemos obtenido un “triángulo abierto” en el que A4 no coincide con A1.

Falsa posición_1

Si consiguiéramos definir dos series superpuestas de segundo orden sobre la circunferencia c, los puntos dobles de la proyectividad, serían los puntos buscados por los que pasaría el triángulo solución. Como ya se estableció en la entrada series superpuestas de segundo orden, La proyectividad entre dos series superpuestas de segundo orden quedará determinada cuando conozcamos tres parejas de puntos homólogos situados sobre una misma cónica (A-A’, B-B’, C-C’). Así que trazaremos otras dos concatenaciones de segmentos desde dos puntos B1 y C1.

Falsa posición_2

Una vez definimos la proyectividad entre c (A1, B1, C1) y c’ (A4, B4, C4), sólo queda calcular los puntos dobles D1 y D2 que se encontrarán en la intersección del eje proyectivo con la cónica soporte de la base de segundo orden como se estudió con anterioridad.

A continuación puedes ver una construcción dinámica del problema realizada con Geogebra. En la parte inferior hay unos deslizadores que permiten avanzar por los pasos de la construcción que llevan a la solución. Además, pueden moverse los puntos P1, A1, B1 y C1.

Por último te dejamos un par de interrogantes. ¿Existirá solución del problema para cualquier posición de los datos? ¿Cuáles son el número máximo y mínimo de soluciones? ¿Qué relación tiene la posición del eje proyectivo con dicho número? ¿Sería válida la construcción anterior si en lugar de una circunferencia, tuviéramos una elipse?

Geometría Proyectiva

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