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Investment: Table mental gymnastics processing elements

Una tabla de gimnasia consiste en una serie de ejercicios físicos estructurados que sirven para el desarrollo y mantenimiento del cuerpo. En el colegio, en las asignaturas de educación física (Gimnasia) hemos realizado alguna de estas tablas de repeticiones de ejercicios. A base de repetir, automatizábamos determinados movimientos y desarrollábamos músculo.

What is a table of mental gymnastics? Pues básicamente lo mismo, a set of exercises that serve to stimulate thinking, develop and maintain an agile mind, automate processes calculation and analysis etc..

In the subjects of geometry we can propose a problem and make slight variations to any of the data. Variability problem will create families of exercises that emphasize one or more concepts of interest.

Como ejemplo, supongamos que queremos trabajar en detalle la “Investment”. En particular ver la influencia de la posición del centro de inversión respecto de los elementos a invertir analizando los casos en los que éstos pueden convertirse en ellos mismos, namely, son elementos dobles.

Los elementos que necesitaremos son los clásicos que se estudian en la transformación de formas planas mediante investment:

  • Straight lines passing through the center of inversion (They are become themselves)
  • Lines that do not pass through the center of inversion (become circumferences that if they spend)
  • Circumferences passing through the center of inversion (They are transformed into lines that do not pass)
  • Circumferences that do not pass through the center of inversion (become the circumferences that do not pass either)
  • Circumferences whose power with respect to the investment center coincides with the power investment (doubles)

We will use two circumferences, c1 and c2, and a straight, r, to propose the exercise. Modify the position of the investment center, I, and determine the investment power defining a double point, P=P´, also we change position.

Case 1

El centro se encuentra sobre una de las circunferencias y el punto doble en la intersección de la recta con la otra circunferencia, siendo además el punto de tangentes de la tangente trazada desde el centro de inversión a C1.

Case 2

El centro de inversión se sitúa en la intersección entre la recta y una de las circunferencias y el punto doble sobre el punto de tangentes de la tangente desde el centro de inversión a la otra circunferencia.

Case 3

El centro de inversión se sitúa sobre el punto de tangentes entre las dos circunferencias, siendo el punto doble el de intersección entre la recta y la circunferencia.

Case 4

El centro de inversión se sitúa en el centro de honmotecia entre las dos circunferencias. The double point remains at the intersection of the line and the circumference.

Case 5

The investment center remains at the center of homotecia of the two circumferences and double point moves to the point of tangents to the circumferences.

Case 6

The investment center is in the "Radical axis of the two circles", It is double the point of tangency of circumferences.

 

Below you can see a PDF file with the proposal of previous exercises.

Download (PDF, 85KB)

We see new "mental gymnastics tables for geometry" in future entries.

Metric geometry

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