Définition projective de la conique autorisé à commencer à résoudre les problèmes classiques d'identification de nouveaux éléments de la conique (nouveaux points et tangentes à leur), et trouver l'intersection avec une ligne ou une tangente d'un point externe. Ces problèmes peuvent être résolus par divers procédés plus ou moins complexes et les chemins conceptuellement plus ou moins laborieuses.

Nous allons maintenant voir comment déterminer les deux points d'intersection possibles d'une ligne avec un cône défini par cinq points.