Geometria projetiva: Determinação de elementos homólogos em série projetiva

Um dos primeiros problemas que precisam aprender a trabalhar em geometria projetiva é a determinação de elementos homólogos, ambas as vigas e série e qualquer prestação de bases, ou separado sobreposto.

Para iniciar o estudo utilizará a metodologia a ser utilizados como elementos baseados em modelos usuais “pontos”, uma vez que é mais fácil de interpretar, assumindo também que a base da série correspondente são separados referem.

Portanto, vamos considerar a determinação de elementos homólogos em duas séries projetiva que têm elementos comuns. A declaração do problema, geralmente, pode ser:

Dadas duas séries projectiva definido por três pares de elementos (pontos) homólogos, determinar a contrapartida de um determinado ponto.

O ponto de dados pode pertencer a qualquer série e olhamos, portanto, pertencem à base da outra.

Vamos resolver esse problema usando perspectividades intermediárias para estabelecer entre as duas séries projetiva, obtendo-se assim o eixo projetiva das duas séries (em linha reta e). Como vimos, eixo projectiva da série é o eixo em perspectiva dos feixes obtemos projectando os pontos de uma série de qualquer outro elemento, e, simultaneamente, projectar os seus homólogos do elemento homólogo vértice geométrica utilizada como a primeira exibição.

Eixo projetiva de duas séries (Vigas de eixo perspectivo)

Iremos determinar em todo o caso, portanto, o eixo projetivas de de séries.

Obtendo o eixo projectivo de duas séries:

Os diferentes processos que podem ocorrer serão determinadas pelos dados que definem séries projectiva, pode ser, em princípio:

Pares comuns de pontos homólogos (3 máximo)
Pontos de limite de pontos impróprios ou homólogo ( para dois possíveis)
Homólogos dos pontos de intersecção das bases ( 2 máximo)
Direção do eixo projetiva

Podemos combinar estes dados para determinar um problema específico, sempre que trazer o número necessário de los. O problema será determinada quando conhecemos três pares de elementos homólogos ou dados equivalentes. Portanto resolver este primeiro caso:

Dado três pontos na série e os seus homólogos, determinar o eixo projectiva da referida série

Os dados são os pontos A, B e C, e seu correspondente pontos de amarração A ', B’ y C '. O ponto de interseção da base M = N’ contêm um ponto de cada uma das séries.

Para determinar o eixo projetivas precisa de um par de pontos na mesma. Estes podem ser determinados como a intersecção de dois raios homólogos vigas de perspectivas dois vértices de um par de pontos homólogos.

Ponto “1” pode ser considerado como um ponto de intersecção de dois feixes de raios homólogos obtidos por se projecta a partir A e A’ pontos B e B ', mas também podemos entender que os vértices das vigas são B e B’ ea pontos projetados A e A '.

O eixo tem sido determinada pelo ponto anterior e o ponto “2” , que é obtido de modo semelhante ao anterior, relacionar os pontos B e C com os seus homólogos B’ y C '.

Os homólogos da intersecção das bases são os pontos de intersecção do eixo de projecção com cada uma das bases. Esses elementos podem ser obtidos como qualquer ponto X desconhecido.

Obtenção de elementos semelhantes

Usando o eixo projectiva é fácil de determinar o homólogo de qualquer ponto; exemplo, obter a contrapartida de um ponto X.

Para simplificar a figura, ficamos com um elemento A e sua série eixo projetiva contrapartida A'y.

Se nós projeto de um’ ponto X, relâmpago gerado e seu homólogo (Um feixe de vértice) foram cortadas no eixo projetivas (ponto “3”). A contrapartida ray contém o elemento (X ') Pesquisas.

Elementos de Contorno

De forma semelhante ao caso observado para o ponto X, pode-se obter o chamado “pontos limite” homólogos são pontos impróprios série (pontos no infinito). A figura abaixo mostra a contrapartida de um deles é determinado, impróprio para a série s. Se projecta a partir do ponto da série está limitado a obter o raio paralelo à série que passa através da projecção vértice. A intersecção deste raio com o eixo projetiva (ponto 4) permitem que você obtenha a contrapartida feixe de raios perspectiva e, conseqüentemente, o ponto procurado.