Geometria projetiva : Centro de involução

Involuções na série de segunda ordem são de especial interesse na determinação dos elementos de uma cônica.

Já vimos como determinar o eixo de uma involução e, baseado no conceito de Polares de um ponto em relação a duas linhas, involuções possíveis que podem ser definidas a partir de quatro pontos, com a sua respectiva eixos de involução, obtendo o autopolar triângulo Associado em que encontramos as relações harmoniosas do cuadrivertice completo.

Neste artigo vamos continuar a melhorar estes elementos, em particular os vértices do triângulo autopolar que vão determinar o que são conhecidos como “Centro de involução”.

Vamos lembrar que dois feixes reta projetiva tem um centro projetivo Ele vincula-los. Podemos determinar este ponto usando a interseção de dois loci (Vão-se através de duas perspectivas série pontos resultado de vigas de seção por elementos homólogos).

Se considerarmos os pontos de intersecção de pares de raios associado (a-b’ e ’-b) Obteremos os loci acima mencionados

Centro projetivo de dois feixes projetivas

Se nós projectamos de quaisquer dois pontos de uma cônica duas séries sobrepostas que são projetivo, os feixes resultantes são projetivos e irão associar um centro projetivo.

Na figura podemos ter projetado do V1 e V2 pontos A,B,X …. e ’,B ’,X’ Você está em involução. Os pares de associado um raio-x’ e ’-x irá determinar um locus é projetivo eixo estes Bundles. Esse locus é a linha um.’ que une os dois pontos homólogos. Repita esta operação com outro par de pontos em involução, vemos que o D3 será pesquisado a projetiva e cada par de pontos homólogos da regressão vai estar em uma linha passando por este ponto, Vou ligar “Centro de involução”.

Se você ganha pontos de novos em qualquer um das involuções dos eixos e12, e23 estudados e e31, Vemos que os pares de pontos homólogos serão alinhados com os vértices do autopolar triângulo, D1, D2 e D3. Em cada involução pares de pontos homólogos será em linhas que contém o seu eixo de involução.

Este ponto nos permitirá obter o equivalente de um ponto sobre a regressão com caminhos menos trabalhosos. Podemos por exemplo usar o centro e eixo de involução no mesmo problema, destacando como operar com eles, para determinar o equivalente de um ponto X.

É a involução dos pontos de um.’ e b-b’ que visa determinar o homólogo do ponto X.

Nós determinaremos este ponto usando a interseção de dois loci em que deve ser.

Na linha que é formada por projetando X do centro de involução
No homólogo falou que nós conseguimos o projeto de um ponto do Conic. Feixe com vértice no ponto homólogo da projeção perspectiva será eixo de perspectiva de involução.

Mesmo se nós salvar uma única linha com relação a utilização do eixo da involução, conceitos aplicados serão muito úteis em problemas mais complexos, como veremos mais adiante nos.

Exemplo: involução dos pontos

Dada a involução é pontos por r. ’, B-B’ em uma circunferência, determinar a contraparte do ponto X

Determinamos o centro da involução, para ser encontrado no cruzamento de dois loci: as linhas retas, contendo cada par de pontos homólogos.

Contraparte do ponto X será na circunferência e a linha que contém o X e o centro de involução

Exemplo: Involução de linhas retas.

Dada a involução da reta a-r. ’, b-b ', determinar os reto homólogos em involução que são perpendiculares.

Este exercício será útil mais tarde, obter um eixos cônicos de dois pares de diâmetros conjugados.

Nós seccionado por um círculo de passagem o ápice do feixe em involução, para determinar as duas séries de segunda ordem em involução.

Podemos determinar os elementos da involução, como o centro ou eixo como já vimos em estudar estas transformações. Neste caso você deseja determinar o centro e a involução.

Vamos lembrar que o conceito de ortogonalidade de linhas retas é associado com o de arco capaz 90 °, um semicírculo.

Se tomarmos qualquer ponto em um semicírculo, ponto V, as linhas retas determinado por este ponto e termina x-x’ seu diâmetro são ortogonais.

VX e VX’ homólogos em um investimento será se o reto linha x-x’ Contém o centro e a involução.

Por conseguinte, X e X’ Eles devem ser o diâmetro do círculo que contém o centro da involução.

Portanto, Nós determinaremos a solução para obter este diâmetro, simplesmente do centro da circunferência e o ponto E. As soluções serão as linhas retas x e x’