彼らは幾何学の授業で私の学生を書かれている最も包括的な記事の一つは、いわゆるを解決する方法を記述されて “アポロニウスの問題”.
接線によって定義された決定に来るストレート円周または幾何学的な制約が大きな関心の幾何学的な問題の家族に基づいている.
グループ “AG-私たちは、ヒックスはありません” この問題では当然と徹底私たちを紹介します. 最初に公開された AQUI, に属する グループでの経験 “ブログ実験”, 記事は、文字通り転記, テキストにいくつかのリンクを追加して補完すること. おかげディエゴ, アリス, クララ, サラとセルジオ
アポロニウスと彼の10の問題
バイオグラフィー:
理論とアポロニオス問題を開発する前に、我々はの略歴を紹介します Apolonio.
ギリシャの数学者アポロニウスはPergeで生まれた(262 紀元前- 190 紀元前),アルキメデスの弟子だった. どちらもで行われた紹介を除いて彼の人生についてはほとんど知られていない 彼の論文の一部 彼の偉大な仕事を構成するの “円錐形の” 最初の条件で使用される: “楕円, 放物線と双曲線“. 彼はまた、発見されたと説明した “Epicycles” いるとプトレマイオスは惑星の運動を説明するために使用します. 歴史家によると、アポロニウスは彼難しい治療作ら短気な性格を持っていた.
ペルガ幾何スタンドのアポロニオスの作品のうち、 “場所飛行機” 操作は、近現代の言語と解析幾何学と幾何学的なデザインに知っておくべき最も重要なことを実施している場所: 拡張, 翻訳, 投資, 回転と類似.
本から得られた情報: “製図” アントニオL.Blanco. “ウィキペディア”
アポロニウスの幾何学への主要な貢献の一つは、提案された全身の問題正接です, 次の文に要約されている:
"であることができる3つのオブジェクトを考える, それらのそれぞれ, 点数, ストレートサークル, 3それらの接線dibujar 1つの円 ".
tangenciasはこれらの要素をスワップ由来異なる問題は彼らに、古典的な幾何学のconocidosケーススタディを生じさせる, の長い歴史にそれを作っている別の提案されたソリューションで.
目立つ 10 例:
- 三点,
- ストレートスリー,
- ポイントと一行,
- 直線と点の,
- ポイントと1つの円,
- 円と点の,
- 直線と1つの円の,
- 二つの円と直線,
- ポイント, 直線と円
- トレス円周.
アポロニウスのもう一つの基本的な貢献, ニックスは.
アポロニウスは、これらの研究を行ったように円錐のセクションは知られていた, しかし、彼の論文は、他の理論の上に移動. 以前はそれがそのアポロニウス双曲線と信じられていた, 寓話, 楕円部は頂角に応じて異なる錐体から得られた.
そう, アポロニオスは、これらの曲線は、円錐の同じ部分から得ることができることを実証, これと交差する面の傾きを変化させる. コーンは、右コーンである必要はないことを証明することに加えて, 円形であってもよい, 斜角筋や斜.
円錐曲線は興味深い性質を持っているほか.
発見された最も重要なアポロニウスの一つは、反射特性である.
寓話の反映: 遠方の光源からの光は、放物面鏡であるかどう, 入射光線は、ミラーの軸線と平行になるように, その後、ミラーで反射された光は、焦点に焦点を当てている.
伝説はそれを持っているアルキメデス, アポロニウスの現代, ローマ人への手紙からシラキュースを守るために、このプロパティを使用して、これらの船を燃やした. このために, 太陽光を集中放物面鏡の生産システムは、ローマの船に入った.
今日のプロパティは、次のようないくつかのユーティリティを持っている: レーダーシステム, テレビアンテナや太陽ミラー, とりわけ.
楕円の反射: 楕円鏡の焦点に置かれた光源であれば, その後、鏡に反射された光は他の焦点に集中している.
すなわち, もし一つの焦点からの光線, ビーム楕円で反射されると、他の焦点を通過した経路をたどる.
このプロパティに基づいて, 我々は楕円形でプールテーブルを持っている場合ことがわかります, そして一つの焦点からボールを打ち上げ, 任意の方向に, このゲームテーブルとバウンスや他の焦点を通過.
ボールバウンスは、第1の焦点を続行希望の場合, というように, ボールの軌道が楕円の半長径と混同されるであろう時までllagase.
彼らは一つの焦点以外の任意の点からボールを投げる代わりに、場合結ぶ線の一つではなかった, ボールの軌道図のセグメントは別の楕円を記述.
と逆に, ボールの出発点は、焦点を結ぶ直線上の点であった場合, これは、同じ焦点と双曲線のエンベロープを描画します.
建設は好奇楕円形天井の部屋です. 一つの焦点からの音を行う場合, これは、他の焦点から鮮やか明快に鳴ります. また、音が一つの焦点から、我々は放送のために取る方向の別にかかわらずに広めるために、同じ時間がかかります. この効果はまた、部屋の防音が可能に.
双曲線の反射: 双曲線の焦点の一つから来る光線は反射した光線が別のソースから来るように表示されるように反映されている.
このプロパティは、の作成に使用されている LORAN, 使用されており、まだ使用されているラジオ双曲線ナビゲーション装置は、ある, 明らかに、より少ない程度に起因するの出現 GPS 他のシステム, 船舶や航空機の位置を固定する.
地上面に位置する2つの送信所から発信され、受信機で得られた信号の時間差の計算に基づいている.
位置決めは、二次元で行われるように, あなたが知っている場合、2つの駅までの距離の差は点の軌跡を見つけることができます, あなたは、ボートや飛行機を見つけることができます, これは、その病巣の季節である双曲線です.
二つ以上の双曲線の交点を知ることは、航空機や船舶の位置を定義することが可能である.
10題の問題APOLONIO
その後、私たちは扱います 10 アポロニウスの根本的な問題, 線や円の間で接触に基づいている.
あなたの主な問題について話してみましょう, 他のすべてのケースを解決し、そこから, すべて最終的に別のに接する円に減少し、2点を通過すること、すなわち. 彼の最も困難な問題は、次の3つに接する円を作ることですが、.
第一及び第二の問題
以前この問題は、実行するためにシンプルがある, そのある: ポイントportresを通して円を描く(PPP) Y trazarドスpuntos Y ES接線UNA rectumの複数形のための円周QUEパス(PPR). 下に表示されます:
サークルには、3つの点を通る.
2点を通る直線と通過の接線
第三の問題
AHORAは、DOS puntosための狩猟UNAの円周接線からOTRA yのqueのステップでcentrarnosをVAMOS. 解決するための手順は次のとおりです。.
- 私たちは、与えられた点を結ぶ線分の二等分線を見つける, それは円の中心でなければならない私たち.
- ラインは、我々はそれが我々のすべての円のラジカル軸になることを知っている点を結ぶ.
- 次いで点を通過すると、所定の円を切断補助輪を描き、二つの円の交点を結ぶ直線を引く. 2点を結ぶ線と、このラインの交点 (根軸) ラジカルセンター発見.
- 私たちは、中心部からラジカル与え周りに接線を見つける, 円の接線のこれらの点はまた、我々が探しています.
- 最後に、円の中心との接触点を追加し、垂直には与えられた点をカットどこに我々は解決策の円周センターを取得.
第4の問題点
バモス狩猟UNA周り正接のcontinuar詐欺トレスrectas, この場合には、4つの可能な解決策が存在する, 写真の下に表示されるように.
手続きは簡単です:
-私たちが知っているように円の中心には、3つのラインを形成し、内部と外部の二等分線になっている必要があり. 生産円周はこれらの線の交差部に求め.
フィフス問題
フィットexplicar AA SER UNA周りタンジェント次狩りからドスrectas YもCuAlパス.
このケースでは、我々はいくつかの可能性を語る:
1- 起業解き放つをencuentraばスナップのcortan yの場合のSiラスrectas:
この最初のケースではどのような私たちは、角の二等分線をhllar、与えられたポイントの相手を見つける, 問題は、2つのポイントを通る直線に接する円に減少さすると
( 上記で説明).
2-: これは、与えられたポイントが与えられた行のいずれかに属していることを起こるかもしれ:
後者のケースでは、2つの行を形成する2つのáangulosの二等分線をトレースされないし、与えられた点が求められる点で切断翼を二等分それを含む行に対して垂直を描く, 円周の中心、すなわち.
3: ウルティモはQUEラスドスrectas dadasショーン平行posibilidadをhablaremosため.
点が2つの線の間にあることを知っている, したがって、中心部と線の間の距離に等しい直径の円を描く. そこで我々は真ん中並列で交差点で二つの溶液の中心を取得する. ポイントはまた、B点として指定された行にencontarできます , したがって、点Bが言った二つの平行線のいずれかの解決策平均平行と垂直の交点として、円の中心を見つける.
以下に示す:
第六の問題
この問題は、2つの他の人に接する円を作り、ポイントを通過する際に基づいています我々は、4つの回避策があります.
我々は投資の中心地として与えるという点を考慮し、二つの円のいずれかを取ること, 自己反転円周として, その後、点をプロットdobles.Yその後与えられた図面をinversión.lascircuanferenciasの接線のcircunferenicaを見つけるcircunfernciaは、ソリューションの逆数であり、また点線circunfernciaとの交差点に円周接線ポイントを含むdobles.Posterioemente見つける. 最後に円周のtarzar.
セブンス問題
バモスexplicarコモば実現circunfernciaタンジェントDOSでDOS rectas yのqueのA SU VEZ ESタンジェントOTRA円周dada.Podremos dividirエステ問題:
1- 与えられた円周は行の間にある場合を話し合う. 最初のステップは、所与のcircunfernciaの半径に等しい距離に平行な直線の一方の両面を構築することである, その後、二行によって形成bisetrizに関して角度を円周の前記中心に対して対称を見つける. 点における直線のいずれかに中心部とその短い対応を結ぶ直線, その時点から、私たちはcircunferciaセンターに接線を引くと相手の中心を通る. その後、中心点と円弧を描くと接線の点を発見意思, そう我々は最初の2点で発見裁判所に平行にカットされ得るもの, ようやくこれらの点から、立ち上がっては、2つの点で二等分カットに垂直, circunferncias buscadas.Paraの中心は、すべてあなたがしなければならない他の二つのcircunfernciasの解決策を見つけるためのSERENは、他の並列で再度処理を繰り返している, 従って我々は問題の4つの解を得る.
2- それが起こる可能性がある行の任意の円周接線, したがって、以前と同じ方法で解決するためになされた, しかし、円の二つ一組の溶液外部補助に対応する ( 前と同じように行われる) 他の2つのソリューションは、2つの線が交差する場合に低減される, 私たちは、ニップ1つを知っているので.
八問題:
この場合, アポロニウスの問題がある 二つの円と直線を与え, 二つの円の接線とまっすぐであるサークルを見つける.
この複雑なケース, 8ソリューション, 還元は、点の場合によって達成される (円周の一つの中心), ライン (与えられた1つ並列) と円周 (左に同心円). 与えられた円の同心の円周は半径R RとRRは半径RとR与えられた円周と直線距離rに平行が与えられたラインにプロットされているを持っている.
そう, これらの4つの円は半径の同心円R Rを考慮し得られた; 4円周の, 2は、並列の1、その他で他の二つを用いて得られる.
これらの4つの円は現在、半径Rrとの同心円を考慮して、再度ソリューションを得られます, 二つの平行や他の持つ2つのいずれかの.
ここで、同図8のソリューションです.
第九の問題
根本的な問題に到達する前にアポロニウスの10問題の最後から二番目のイベントを開発しましょう, このケースでは、我々は点を通る1 circunerenciaの受け渡しを説明し、その代わりに、行の円に接するでしょう.
我々は、4つの解を持つが、場合によっては任意に達していないデータの配置に応じて.
relizarloに一連のステップを実行する必要が:
- ラインが円周投資図である , 与えられたcircunfereciaの中心を通るラインそのラインに対して垂直とパッシングを見つける, ので、サークルへの投資の中心を見つける( 私は、図面内のポイント).
- 任意の与えられたトレースポイントとストレートtarzadoの円周を切ると相手がまっすぐ与えられた点ともラジカルとラジカル中心軸dadas.Hallamosた点を通る円。( 点P、描画P'en)
- 私たちは、点PとP 'との間に二等分線をトレースして、そこには、サークルのソリューションの中心を見つける. その後、それによってアークができtarazamos 90 CR-Oのセグメントとは、接線Tの場所を定義するために取得.
- T1とT2におけるCRとCR-Tカット半径rに焦点を当て. T1 ARからの垂直二等分線は、PPをカット’ S1にS2とT2カット垂直のいずれかで, 二つの円の中心溶液.
- そこで我々は2つの解を得る.
- 我々は負の投資の中心を考慮し、 'を見つけなければならない他の二つの解を得るために。Arbitariaは、我々は点を通過する円を描いた, 我々はラジカルで中心点と軸P'yを見つける前のケースのように、その後 'とPと.
- 我々はできる円弧セグメント90 CR-O, CRとCR-Tにおけるcenroは半径接線の点を見つける前のケースのように、それによって接線Tの位置を取得する 3 Y 4 二つの点でラインをカットする.
- セグメントPP 'の垂直二等分線を描画. T3回線の垂直二等分線は、AR PP'en S3およびS4のT4カットから別の垂直をカットしているので, 他の二つの円の中心溶液.
第十の問題.
最後のはアポロニウスfudamentalの問題について話しましょう, その中で3へのフルサークルタンジェント. この場合、私たちは私たちを与える3周はどのように応じて、8つのソリューションまで得ることができます. 以下のように行われる:
まず最初に行うには、6つのセンターを見つけることですhomotecia, 3つの内部と3つの外部, 私たちを与える3つの円の. これらの6つのポイントは、4つのライン上にあるように起こる. その後、我々は何をすべきか、ストレート4のいずれかを取ると、3つの円上にポールを見つけることです, その後、3極と円のラジカル中心に参加しdadas.Loは、我々は今何をすべて接触の6点の中で十分に選択することです検索円周と円の接線のポイントを取得接線二つの円を描くことが判明. 我々は、ストレートのいずれかを使用して行っているこの手順, 我々は、8つの解決策を得るために他の三つと何をすべきか.
それは、最終的な解決策になるだろうかの写真を示す. それは、このエクササイズを行う少し複雑だと、これはこの写真で明らかである.
から得られる情報: “Geothesis” “Zonabarbieri” とベラジオメトリ.
でなければなりません 接続済み コメントする.