Nous avons vu que l'étude de la CONIC peut être fabriqué à partir de différentes approches géométriques.
En particular, al iniciar el análisis de las cónicas hemos definido la elipse como lugar geométrico, nous avons dit que:
Ellipse est le lieu des points dans un plan dont la somme des distances à deux points fixes, appelé Spotlights, Il a une valeur constante.
Cette définition métrique de cette courbe nous permet d'aborder l'étude importante relative aux tangentes circonférences, connu sous le nom “Problème d'Apollonius” dans l'une de ses versions. Lorsque nous abordons l'étude du rendement ou hyperbole à parabola reformuler le problème de généraliser ces concepts et de réduire les problèmes “problème fondamental de tangentes dans le cas droite“, o el “problème fondamental de tangentes à la circonférence du boîtier“, à savoir, la détermination d'une circonférence d'un “faire corradical” une condition de tangence.
Supongamos, aplicando la definición anterior de la elipse, que los puntos fijos son F1 y F2. Estos puntos son los focos de la elipse. Supongamos además que la cónica se termina de definir por la condición de paso por un punto dado P.
Según la definición anterior la suma de distancias desde P a los dos focos debe ser constante. Llamaremos a esa suma “2à”.
ρ1 + ρ2 = 2a = constante
Si llevamos el segmento ρ2 a continuación del punto P según la dirección del segmento ρ1, obtendremos un punto “SF2” que dista del foco F1 el valor “2à“.
Al obtener todos los puntos de la cónica, como la suma de distancias a los focos es “2à“, los puntos similares al “SF2” se encontrarán a esa distancia (2à) del foco F1, por lo que se encontrarán en una circunferencia denominada “Circunferencia focal de la elipse“.
La circunferencia focal de una cónica es aquella circunferencia que tiene su centro en uno de sus focos y su radio es igual a la distancia entre los vértices de la cónica (2à)
Como la distancia del punto P al foco F2 que no es centro de la focal, es la misma que al punto “SF2”, la circunferencia que tiene su centro en el punto P y radio el valor “ρ2” passera par “SF2” punto de la circunferencia focal, pero como además los centros “F1” de la focal y “P” de esta nueva circunferencia se encuentran alineados con el punto común de ambas “SF2”, este punto es de tangencia entre las dos circunferencias, lo que nos permite concluir que:
Los puntos de una elipse son los centros de las circunferencias que siendo tangentes a la circunferencia focal, pasan por el otro foco.
Esta definición de la cónica nos permite abordar los problemas de determinación de tangentes y puntos de paso o tangencia a la cónica mediante la solución de problemas de tangencias.
Par exemple, determinar los puntos de intersección de una recta con una cónica es determinar las circunferencias que tienen su centro sobre la recta, pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal. Al tener su centro sobre la recta y pasar por un foco, pasarán por el simétrico de dicho foco respecto de la recta y el problema se reducirá a buscar circunferencias que pasando por dos puntos (foco y simétrico) son tangentes a la focal, à savoir, dos puntos de paso (pertenencia a un haz elíptico) y una condición de tangencia respecto de la circunferencia focal: Problème fondamental des tangentes.
Igual que obtenemos los puntos de una recta podemos relacionar las tangentes y los puntos de tangencia como se aprecia en la siguiente figura. Al ser la recta “r” tangente a la cónica, se puede deducir que es “la bisectriz” de los radios focales ρ1 y ρ2, como veremos más adelante.
¿Serías capaz de deducirlo tú?
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