O estudo das disciplinas de geometria clássica pode ser reforçado por meio de ferramentas que permitem que as construções que podem ser alterados dinamicamente: construções variacionais.
Estas construcciones pueden servir para que entendamos cómo se mantienen determinadas propiedades en las relaciones geométricas que denominaremos “Invariantes”, así como para verificar que determinados conceptos que damos como axiomas son válidos simplemente en determinadas condiciones. También nos ayuda a entender cómo varía una representación al cambiar la disposición de los elementos que intervienen en la misma, facilitando la generalización y comprensión profunda de los fundamentos geométricos.
Ferramenta “GeoGebra” Ele irá servir para ilustrar estes conceitos e para demonstrar a importância de um conhecimento aprofundado das relações geométricas para assegurar a robustez das construções utilizadas no raciocínio geométrico, ya que, en ocasiones, Alguns edifícios podem perder a sua validade.
Polar de um ponto de um círculo.
Veja com um exemplo relativamente simples como o uso de qualquer construção pode levar a situações em que a geometria mais básico mais aplicativos.
Suponha que temos um circunferência “c” centro “O” a passagem de um determinado ponto “A”, e um ponto “P” que, em princípio, ele está fora deste círculo.
A partir destes dados, propomos para determinar a em linha reta que é a P polar à volta da circunferência c.
O que é o polar de um ponto de um círculo? La respuesta a esta pregunta nos puede conducir a una u otra construcción geométrica.
Es el lugar geométrico de los extremos de los diámetros de las circunferencias que pasando por el punto P son ortogonales a la circunferencia c.
Las circunferencias que pasan por un punto y son ortogonales a otra circunferencia se encuentran agrupadas en un circunferências do feixe. Si consideramos al punto como una circunferencia de radio nulo, los centros estarán en el eje radical de la circunferencia y el punto determinando un circunferências feixe elípticas (conjugado del hiperbólico formado por la circunferencia c y el punto P)
Para determinar este lugar geométrico podemos obtener un punto de paso ya que sabemos que es una recta perpendicular al diámetro de la circunferencia c que con tiene al punto P (perpendicular à linha de O-P).
Utilizando uma linha tangente à circunferência do P pode-se obter o ponto de tangência T, através do qual vai passar o polar. determinar um arco capaz de 90 graus (ângulo reto) entre o ponto P e do centro O permitem-nos obter este ponto T de tangência para o qual ele vai ter a linha polar.
diâmetro da circunferência PT é ortogonal em relação à circunferência c como seu raio no ponto de contacto t eles são ortogonais de modo t satisfaz o locus que temos utilizado para definir a linha polar.
No entanto, esta construção simples torna-se inválida no momento em que o ponto P fique dentro da circunferência c, Como pode ser visto na figura a seguir, ya que el arco capaz no corta a la circunferencia c. Deberemos buscar nuevos modelos que resuelvan estas posiciones.
Es el lugar geométrico de los puntos conjugados de P respecto de la circunferencia c.
Recordaremos que una cuaterna de puntos (ABCD) cuyo valor es la unidad negativa se denomina cuaterna armónica, nomeadamente:
(ABCD)= -1
Ser
(ABCD) = (ACD)/(BCD) = (AC/AD)/(BC/BD)
En su momento definíamos la polar de un punto P respecto de dos rectas a y b como el lugar geométrico de los conjugados del punto P respecto de los de intersección con “a” e “b” del haz de rectas con vértice en P.
A partir de la geometría del cuadrivertice completo podíamos obtener la recta que cumplía las condiciones solicitadas, siendo (PP ’ AB)= -1.
Este modelo nos permite realizar una nueva construcción para determinar la polar respecto de la circunferencia mediante el cuadrivértice ABCD que se puede obtener con un diámetro de la circunferencia y la cuerda AD resultado de proyectar desde P el punto A que determina el radio de nuestra circunferencia. Neste caso:
(PP1AD)=(PP2BC)= -1
luego la recta que pasa por los puntos diagonales del cuadrivértice (D1 e D2) es el lugar geométrico buscado.
Al modificar la posición del punto P se conserva la robustez del modelo, en el que ademas no ha sido necesario utilizar ninguna circunferencia (solución lineal).
Existen otras soluciones que pueden ser híbridas entre las anteriores, en las que se pueden utilizar circunferencias auxiliares para determinar ejes radicales que impliquen la ortogonalidad, sabiendo que la recta O-P es además el eje radical del haz conjugado. Se deja al lector el análisis de esta nueva y simple construcción.
Modelo variacional con GeoGebra
Para terminar se añade el fichero Geogebra con la geometría dinámica que permitirá al lector experimentar variando las posiciones de los elementos.
¿Sabrías realizar una nueva construcción robusta que permitiera variar las posiciones de los elementos sin perder su validez?
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