Geometria métrica : circunferências feixe de Investimento

Al estudiar la investimento no plano analizamos la transformación de los elementos geométricos básicos (recta y circunferencia) en dos casos diferentes, cuando el centro de inversión se encontraba sobre ellos o en un punto cualquiera que no les pertenecía.

Transformação através do investimento em formas geométricas elementos agrupados podem ser de interesse para usar o investimento como uma ferramenta para análise de problemas complexos. Neste estudo transformadora caso “feixes circunferências corradicales” mediante diferentes inversiones que los transformen. Más adelante necesitaremos estas transformaciones para resolver el problema de “Apolonio” (circunferencia con tres restricciones de tangencia) o la “Generalización del problema de Apolonio” (circunferencias con tres restricciones angulares).

Transformación de la circunferencia por inversión

Si consideramos que una recta puede ser una circunferencia de radio infinito, generalizando, concluimos que en cualquier caso una circunferencia se transforma mediante una inversión en otra circunferencia.

Vimos que ambos circunferências também foram relacionados por homotecia centro de investimento. Figura I é o ponto central um investimento positivo que transforma a circunferência c na circunferência c’. A inversão de potência é mostrado pela circunferência Ck auto inversora cujo raio é a raiz de este poder. Pontos A e A’ são elementos inversas, mas não são homothetic enquanto tangência do centro da investimento, T e T’, Eles são os únicos que estão para reverter o tempo e ponto central homothetic Eu.

No momento em que viu as circunferências reversa centros estão alinhados com o centro de investimento e, embora sejam homothetic em homotecias relativos às circunferências, Eles não são revertidas em investimentos.

investimento Feixe Parabólico.

Los corradicales vigas circunferências parabólicos são formados por esses circunferências são tangentes uma à outra em um ponto. Este ponto pertence a eixo radical de todos e não tem poder em relação a qualquer circunferência do pacote de pertencer a todos.

Se considerarmos a tangente círculos no ponto “A” a circunferência c temos investido antes, a sua passagem através do ponto A transformada’ Um transformado como o único corte no que aponte para a circunferência c (suas tangentes) corte apenas no Uma transformada’ a circunferência c’ inversa por lo que deberán ser tangentes y determinarán de nuevo un haz parabólico.

La circunferencia del haz original que pase por el centro de inversión se convertirá en una recta tangente al haz transformado en el punto A’ e, portanto, en su eje radical.

Al invertir con centro de inversión el punto común a todas ellas las transformadas serán un conjunto de rectas paralelas entre sí y perpendiculares a la recta base del haz original, ya que la inversa de una circunferencia que contiene al centro de inversión es una recta de dirección normal al diámetro de la circunferencia que pasa por el centro de inversión.

Inversión del Haz Elíptico

Los haces de circunferencias corradicales de tipo elíptico son los formados por aquellas circunferencias que pasan por dos puntos comunes a todo el haz. Estos puntos denominados “puntos fundamentales del haz” pertenecen al eixo radical del haz y tienen potencia nula respecto de cualquier circunferencia del haz al pertenecer a todas ellas.

De forma análoga a lo que hemos visto para el caso parabólico, al pasar por dos puntos todas las circunferencias del haz sus transformadas por inversión pasarán por los dos puntos inversos de los anteriores y en consecuencia determinarán un nuevo haz elíptico de circunferencias

El eje radical e del haz se convertirá en una circunferencia e’ que pasará por el centro de inversión.

Al invertir con centro de inversión uno de los puntos comunes a todas ellas (pontos fundamentais) transformado será um conjunto de linhas rectas que atravessam o inverso do outro ponto comum que não é o centro investimento.

Vemos, portanto, que se transformam em um pacote de reta.

Feixe de investimento hiperbólica

Los corradicales vigas circunferências do tipo hiperbólica são formados por esses circunferências não têm um ponto em comum, seus centros estão localizados em uma linha reta (baseada feixe) e ter um eixo radical comum. As circunferências de diâmetro menor tem nenhum raio (cólon, L1 y L2) denominador “limita os pontos de feixe“.

Ao estudar esses feixes viu que os limites fazer pontos hiperbólicos foram os pontos-chave do conjugado feixe elíptico.

Esta relação entre as vigas elípticas e hiperbólicas nos permite deduzir que o feixe hiperbólica ser transformado por um investimento torna-se um outro feixe hiperbólica cujos limites são pontos processada do ponto-limite da viga originais.

De fato, se transformar os dois pontos limite se tornará dois novos pontos inversa da acima. O feixe elíptico que passa através deles vai se tornar um feixe elíptico que passar pelo processados ​​e, como conforma transformação (mantém os ângulos), feixe hiperbólica tendo o elíptica por conjugado, vai ser transformado em um novo feixe deve ser ortogonal ao inverso do elíptica.

Especial interés tiene la inversión de centro uno de los puntos límites.

En la figura se ha representado un haz corradical hiperbólico con puntos límites L1 y L2, cuyas circunferencias tienen su centro en la recta base b, comparten el eje radical e y son ortogonales a la circunferencia del haz ortogonal de centro el del haz (intersección de la recta base y el eje radical). Esta circunferencia pasará por los puntos límites.

Si tomamos como centro de inversión uno de los puntos límites, por ejemplo L2, con una potencia cualquiera, el otro punto límite se transformará en un nuevo punto, L1′, y la circunferencia que pasa por los puntos límites, L1 y L2, pertencente ao feixe conjugado do feixe hiperbólico será transformado em uma linha reta que passará por L1′ inverso de L1.

Como todas as circunferências do feixe hiperbólico são ortogonais a essa circunferência, seus inversos serão a linha inversa, então eles terão que ter seu centro nessa reta.

Por outro lado, como os centros dos novos círculos inversos devem estar alinhados com os centros dos círculos originais e o centro de investimento, como este centro de investimento está na linha de base, as novas circunferências inversas do feixe devem ter o centro na linha de base.

Você dizer, os círculos inversos devem ter seu centro na linha de base e na linha transformada do círculo que passa por L1 e L2. A interseção dessas linhas é o ponto L1′ inverso de L1, para que o raio do círculo se torne um conjunto de círculos concêntricos.

Veremos o interesse dessas transformações ao aplicá-las na resolução de problemas de tangências ou angularidades.

Outros investimentos de interesse.

Deve-se notar em todos os casos, você faz elípticos, parabólicas e hiperbólicas, o interesse de usar um ponto no eixo radical como centro de inversão e aumentar o ponto em relação às circunferências do feixe. Nesse caso, o feixe se transforma. A análise gráfica deste caso interessante é deixada ao leitor.